حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{\cot (x)}{1 + \cot (x)}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \cot (x)$ و $g (x) = 1 + \cot (x)$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

خطوة 2

مشتق $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

خطوة 3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

خطوة 4

مشتق $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (- \csc^{2} (x))}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

خطوة 5

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) + 1 \cot (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

خطوة 5.2

اضرب $\cot (x)$ في $1$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \csc^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $\cot (x) (- \csc^{2} (x))$ و $\cot (x) \csc^{2} (x)$ .

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

أضف $- \csc^{2} (x) \cot (x)$ و $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) + 0}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3

أضف $1 (- \csc^{2} (x))$ و $0$ .

$\frac{1 (- \csc^{2} (x))}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.2

اضرب $- \csc^{2} (x)$ في $1$ .

$\frac{- \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

خطوة 6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{\csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$