حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = e^{4 \sqrt{x} + x^{2}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 8

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 10

اجمع $4$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 11

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 12

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 13.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{2}} (\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 x)$