حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (\frac{x}{x + 1})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{x}{x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

خطوة 2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{x}{x + 1}$ .

$1 \frac{x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

خطوة 3

اضرب $\frac{x + 1}{x}$ في $1$ .

$\frac{x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x + 1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.2

اضرب $x + 1$ في $1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.6.3

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.6.4

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.6.5

اضرب $\frac{x + 1}{x}$ في $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.6.6

احذِف العامل المشترك لـ $x + 1$ و ${(x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.6.1

اضرب في $1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

خطوة 5.6.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.6.2.1

أخرِج العامل $x + 1$ من $x {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x (x + 1))}$

خطوة 5.6.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x (x + 1))}$

خطوة 5.6.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x (x + 1)}$