حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (\sec (5 x) + \tan (5 x))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \sec (5 x) + \tan (5 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sec (5 x) + \tan (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (5 x) + \tan (5 x)]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (5 x) + \tan (5 x)]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sec (5 x) + \tan (5 x)$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} \frac{d}{d x} [\sec (5 x) + \tan (5 x)]$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sec (5 x) + \tan (5 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sec (5 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (\frac{d}{d x} [\sec (5 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $5 x$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

خطوة 3.2

مشتق $\sec (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $5 x$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

خطوة 4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $5$ في $1$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (\sec (5 x) \tan (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

خطوة 4.3.2

انقُل $5$ إلى يسار $\sec (5 x) \tan (5 x)$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \cdot (\sec (5 x) \tan (5 x)) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $5 x$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + \frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 5.2

مشتق $\tan (u_{3})$ بالنسبة إلى $u_{3}$ يساوي $\sec^{2} (u_{3})$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + \sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $5 x$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + \sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + \sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + \sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1))$

خطوة 6.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $5$ في $1$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + \sec^{2} (5 x) \cdot 5)$

خطوة 6.3.2

انقُل $5$ إلى يسار $\sec^{2} (5 x)$ .

$\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + 5 \cdot \sec^{2} (5 x))$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} (5 \sec (5 x) \tan (5 x) + 5 \sec^{2} (5 x))$ .

$(5 \sec (5 x) \tan (5 x) + 5 \sec^{2} (5 x)) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$5 \sec (5 x) \tan (5 x) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} + 5 \sec^{2} (5 x) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

خطوة 7.3

اضرب $5 \sec (5 x) \tan (5 x) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اجمع $\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$ و $5$ .

$\frac{5}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} \sec (5 x) \tan (5 x) + 5 \sec^{2} (5 x) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

خطوة 7.3.2

اجمع $\frac{5}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$ و $\sec (5 x)$ .

$\frac{5 \sec (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} \tan (5 x) + 5 \sec^{2} (5 x) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

خطوة 7.3.3

اجمع $\frac{5 \sec (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$ و $\tan (5 x)$ .

$\frac{5 \sec (5 x) \tan (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} + 5 \sec^{2} (5 x) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

خطوة 7.4

اضرب $5 \sec^{2} (5 x) \frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اجمع $\frac{1}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$ و $5$ .

$\frac{5 \sec (5 x) \tan (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} + \frac{5}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} \sec^{2} (5 x)$

خطوة 7.4.2

اجمع $\frac{5}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$ و $\sec^{2} (5 x)$ .

$\frac{5 \sec (5 x) \tan (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)} + \frac{5 \sec^{2} (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

خطوة 7.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{5 \sec (5 x) \tan (5 x) + 5 \sec^{2} (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

خطوة 7.6

أخرِج العامل $5 \sec (5 x)$ من $5 \sec (5 x) \tan (5 x) + 5 \sec^{2} (5 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

أخرِج العامل $5 \sec (5 x)$ من $5 \sec (5 x) \tan (5 x)$ .

$\frac{5 \sec (5 x) (\tan (5 x)) + 5 \sec^{2} (5 x)}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

خطوة 7.6.2

أخرِج العامل $5 \sec (5 x)$ من $5 \sec^{2} (5 x)$ .

$\frac{5 \sec (5 x) (\tan (5 x)) + 5 \sec (5 x) (\sec (5 x))}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$

خطوة 7.6.3

أخرِج العامل $5 \sec (5 x)$ من $5 \sec (5 x) (\tan (5 x)) + 5 \sec (5 x) (\sec (5 x))$ .

$\frac{5 \sec (5 x) (\tan (5 x) + \sec (5 x))}{\sec (5 x) + \tan (5 x)}$