حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 3 (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))]$ .

$3 \frac{d}{d x} [(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ و $g (x) = \sin (x) - \cos (x)$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)] + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x) - \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

خطوة 4

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

خطوة 6

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - - \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + 1 \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

خطوة 7.2

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

خطوة 7.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x) + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

خطوة 8

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

خطوة 9

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))) + 3 ((\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)))$

خطوة 10.2

احذِف الأقواس.

$3 (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.3

أعِد ترتيب الحدود.

$3 (\cos (x) + \sin (x)) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.2

وسّع $(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.1.1

اضرب $3 \cos (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.1.1.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.3.1.1.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.3.1.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 {\cos (x)}^{1 + 1} + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.3.1.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.3.1.2

اضرب $3 \sin (x) \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.1.2.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.3.1.2.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.3.1.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 {\sin (x)}^{1 + 1} + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.3.1.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.3.2

أعِد ترتيب عوامل $3 \sin (x) \cos (x)$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.3.3

أضف $3 \cos (x) \sin (x)$ و $3 \cos (x) \sin (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.4

أخرِج العامل $3$ من $3 \cos^{2} (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{2} (x)) + 3 \sin^{2} (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.5

أخرِج العامل $3$ من $3 \sin^{2} (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{2} (x)) + 3 (\sin^{2} (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.6

أخرِج العامل $3$ من $3 (\cos^{2} (x)) + 3 (\sin^{2} (x))$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.7

أعِد ترتيب الحدود.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.8

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cdot 1 + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.9

اضرب $3$ في $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.10

طبّق خاصية التوزيع.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + (3 \cos (x) + 3 (- \sin (x))) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.11

اضرب $- 1$ في $3$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + (3 \cos (x) - 3 \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.12

وسّع $(3 \cos (x) - 3 \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) - 3 \sin (x) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) (- \cos (x)) - 3 \sin (x) (\sin (x) - \cos (x))$

خطوة 10.4.12.3

طبّق خاصية التوزيع.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) (- \cos (x)) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

خطوة 10.4.13

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.13.1.1

اضرب $3 \cos (x) (- \cos (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.13.1.1.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

خطوة 10.4.13.1.1.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

خطوة 10.4.13.1.1.3

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

خطوة 10.4.13.1.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 {\cos (x)}^{1 + 1} - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

خطوة 10.4.13.1.1.5

أضف $1$ و $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

خطوة 10.4.13.1.2

اضرب $- 3 \sin (x) \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.13.1.2.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

خطوة 10.4.13.1.2.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

خطوة 10.4.13.1.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 {\sin (x)}^{1 + 1} - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

خطوة 10.4.13.1.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

خطوة 10.4.13.1.3

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) \cos (x)$

خطوة 10.4.13.2

أعِد ترتيب عوامل $3 \sin (x) \cos (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 10.4.13.3

أضف $3 \cos (x) \sin (x)$ و $3 \cos (x) \sin (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x)$

خطوة 10.4.14

أخرِج العامل $- 3$ من $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{2} (x)) - 3 \sin^{2} (x)$

خطوة 10.4.15

أخرِج العامل $- 3$ من $- 3 \sin^{2} (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{2} (x)) - 3 (\sin^{2} (x))$

خطوة 10.4.16

أخرِج العامل $- 3$ من $- 3 (\cos^{2} (x)) - 3 (\sin^{2} (x))$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))$

خطوة 10.4.17

أعِد ترتيب الحدود.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

خطوة 10.4.18

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 \cdot 1$

خطوة 10.4.19

اضرب $- 3$ في $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3$

خطوة 10.5

جمّع الحدود المتعاكسة في $6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

اطرح $3$ من $3$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x) \sin (x) + 0$

خطوة 10.5.2

أضف $6 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x) \sin (x)$ و $0$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 10.6

أضف $6 \cos (x) \sin (x)$ و $6 \cos (x) \sin (x)$ .

$12 \cos (x) \sin (x)$