حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{\frac{z - 5}{z + 5}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{\frac{z - 5}{z + 5}}$ في صورة ${(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d z} [{(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ هو $f' (g (z)) g' (z)$ حيث $f (z) = z^{\frac{1}{2}}$ و $g (z) = \frac{z - 5}{z + 5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{z - 5}{z + 5}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{z - 5}{z + 5}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

خطوة 7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ هو $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ حيث $f (z) = z - 5$ و $g (z) = z + 5$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) \frac{d}{d z} [z - 5] - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

خطوة 9

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $z - 5$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 5]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 5]) - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

خطوة 9.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) (1 + \frac{d}{d z} [- 5]) - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

خطوة 9.3

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $z$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) (1 + 0) - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

خطوة 9.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) \cdot 1 - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

خطوة 9.4.2

اضرب $z + 5$ في $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

خطوة 9.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $z + 5$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [5]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [5])}{{(z + 5)}^{2}}$

خطوة 9.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) (1 + \frac{d}{d z} [5])}{{(z + 5)}^{2}}$

خطوة 9.7

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $z$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) (1 + 0)}{{(z + 5)}^{2}}$

خطوة 9.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) \cdot 1}{{(z + 5)}^{2}}$

خطوة 9.8.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5)}{{(z + 5)}^{2}}$

خطوة 9.8.3

اضرب $\frac{z + 5 - (z - 5)}{{(z + 5)}^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{z + 5 - (z - 5)}{{(z + 5)}^{2} \cdot 2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.8.4

انقُل $2$ إلى يسار ${(z + 5)}^{2}$ .

$\frac{z + 5 - (z - 5)}{2 \cdot {(z + 5)}^{2}} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

غيّر علامة الأُس بإعادة كتابة الأساس في صورة مقلوبه.

$\frac{z + 5 - (z - 5)}{2 {(z + 5)}^{2}} {(\frac{z + 5}{z - 5})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 10.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{z + 5}{z - 5}$ .

$\frac{z + 5 - (z - 5)}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{z + 5 - z - - 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$\frac{z + 5 - z + 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4.2

اطرح $z$ من $z$ .

$\frac{0 + 5 + 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4.3

أضف $0$ و $5$ .

$\frac{5 + 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4.4

أضف $5$ و $5$ .

$\frac{10}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4.5

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.5.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(z + 5)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(z + 5)}^{2})} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5}{{(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4.6

اضرب $\frac{5}{{(z + 5)}^{2}}$ في $\frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 {(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z + 5)}^{2} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4.7

انقُل ${(z + 5)}^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{5}{{(z + 5)}^{2} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}} {(z + 5)}^{- \frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4.8

اضرب ${(z + 5)}^{2}$ في ${(z + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.8.1

انقُل ${(z + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{{(z + 5)}^{- \frac{1}{2}} {(z + 5)}^{2} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4.8.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{5}{{(z + 5)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4.8.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{{(z + 5)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4.8.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{{(z + 5)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4.8.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{5}{{(z + 5)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4.8.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.8.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{5}{{(z + 5)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4.8.6.2

أضف $- 1$ و $4$ .

$\frac{5}{{(z + 5)}^{\frac{3}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$