حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{x y^{2}} + \ln (y + z)$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x y^{2}} + \ln (y + z)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = x y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x y^{2}$ .

$e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

خطوة 2.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$e^{x y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{x y^{2}} (x (2 y)) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

خطوة 2.4

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \ln (y)$ و $g (y) = y + z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y + z$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d y} [y + z]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d y} [y + z]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y + z$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} \frac{d}{d y} [y + z]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + z$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (1 + \frac{d}{d y} [z])$

خطوة 3.4

بما أن $z$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $z$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (1 + 0)$

خطوة 3.5

أضف $1$ و $0$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} \cdot 1$

خطوة 3.6

اضرب $\frac{1}{y + z}$ في $1$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لكتابة $e^{x y^{2}} (2 x y)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y + z}{y + z}$ .

$\frac{e^{x y^{2}} (2 x y) (y + z)}{y + z} + \frac{1}{y + z}$

خطوة 4.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{x y^{2}} (2 x y) (y + z) + 1}{y + z}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 e^{x y^{2}} x y (y + z) + 1}{y + z}$