حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x \arctan (2 x) - \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x \arctan (2 x) - \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x \arctan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [x \arctan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x \arctan (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \arctan (2 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\arctan (2 x)] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

خطوة 2.2.2

مشتق $\arctan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$x (\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$x (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

خطوة 2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

خطوة 2.6

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$x (\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

خطوة 2.7

طبّق قاعدة الضرب على $2 (x)$ .

$x (\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

خطوة 2.8

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

خطوة 2.9

اضرب $2$ في $1$ .

$x (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \cdot 2) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

خطوة 2.10

اجمع $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ و $2$ .

$x \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

خطوة 2.11

اجمع $x$ و $\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

خطوة 2.12

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

خطوة 2.13

اضرب $\arctan (2 x)$ في $1$ .

$\frac{2 x}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

خطوة 2.14

لكتابة $\arctan (2 x)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 + 4 x^{2}}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2 x}{1 + 4 x^{2}} + \frac{\arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

خطوة 2.15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x^{2})]$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x^{2})]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 1 + 4 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $1 + 4 x^{2}$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}])$

خطوة 3.2.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 + 4 x^{2}$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}])$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))$

خطوة 3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))$

خطوة 3.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (0 + 4 (2 x)))$

خطوة 3.7

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (0 + 8 x))$

خطوة 3.8

أضف $0$ و $8 x$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (8 x))$

خطوة 3.9

اجمع $8$ و $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{8}{1 + 4 x^{2}} x)$

خطوة 3.10

اجمع $\frac{8}{1 + 4 x^{2}}$ و $x$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{8 x}{1 + 4 x^{2}}$

خطوة 3.11

اضرب $\frac{8 x}{1 + 4 x^{2}}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{8 x}{(1 + 4 x^{2}) \cdot 4}$

خطوة 3.12

انقُل $4$ إلى يسار $1 + 4 x^{2}$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{8 x}{4 \cdot (1 + 4 x^{2})}$

خطوة 3.13

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.1

أخرِج العامل $4$ من $8 x$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{4 (2 x)}{4 (1 + 4 x^{2})}$

خطوة 3.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{4 (2 x)}{4 (1 + 4 x^{2})}$

خطوة 3.13.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{2 x}{1 + 4 x^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) \cdot 1 + \arctan (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{2 x}{1 + 4 x^{2}}$

خطوة 4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $\arctan (2 x)$ في $1$ .

$\frac{2 x + \arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{2 x}{1 + 4 x^{2}}$

خطوة 4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2}) - 2 x}{1 + 4 x^{2}}$

خطوة 4.2.3

اطرح $2 x$ من $2 x$ .

$\frac{\arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2}) + 0}{1 + 4 x^{2}}$

خطوة 4.2.4

أضف $\arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2})$ و $0$ .

$\frac{\arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{4 x^{2} \arctan (2 x) + \arctan (2 x)}{4 x^{2} + 1}$

خطوة 4.4

أخرِج العامل $\arctan (2 x)$ من $4 x^{2} \arctan (2 x) + \arctan (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $\arctan (2 x)$ من $4 x^{2} \arctan (2 x)$ .

$\frac{\arctan (2 x) (4 x^{2}) + \arctan (2 x)}{4 x^{2} + 1}$

خطوة 4.4.2

اضرب في $1$ .

$\frac{\arctan (2 x) (4 x^{2}) + \arctan (2 x) \cdot 1}{4 x^{2} + 1}$

خطوة 4.4.3

أخرِج العامل $\arctan (2 x)$ من $\arctan (2 x) (4 x^{2}) + \arctan (2 x) \cdot 1$ .

$\frac{\arctan (2 x) (4 x^{2} + 1)}{4 x^{2} + 1}$

خطوة 4.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4 x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\arctan (2 x) (4 x^{2} + 1)}{4 x^{2} + 1}$

خطوة 4.5.2

اقسِم $\arctan (2 x)$ على $1$ .

$\arctan (2 x)$