حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin^{2} (π x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (π x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (π x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (π x)$ .

$2 \sin (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = π x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $π x$ .

$2 \sin (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x])$

خطوة 2.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (π x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $π x$ .

$2 \sin (π x) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (π x) (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \sin (π x) (\cos (π x) (π \cdot 1))$

خطوة 3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $π$ في $1$ .

$2 \sin (π x) (\cos (π x) π)$

خطوة 3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $\cos (π x) π$ .

$2 \sin (π x) (π \cos (π x))$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد ترتيب عوامل $2 \sin (π x) π \cos (π x)$ .

$2 π \cos (π x) \sin (π x)$

خطوة 4.2

أضف الأقواس.

$2 π (\cos (π x) \sin (π x))$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب $2 π$ و $\cos (π x) \sin (π x)$ .

$\cos (π x) \sin (π x) (2 π)$

خطوة 4.4

أضف الأقواس.

$\cos (π x) (\sin (π x) \cdot 2) π$

خطوة 4.5

أعِد ترتيب $\cos (π x)$ و $\sin (π x) \cdot 2$ .

$\sin (π x) \cdot 2 \cos (π x) π$

خطوة 4.6

أعِد ترتيب $\sin (π x)$ و $2$ .

$2 \cdot \sin (π x) \cos (π x) π$

خطوة 4.7

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\sin (2 (π x)) π$

خطوة 4.8

أعِد ترتيب العوامل في $\sin (2 π x) π$ .

$π \sin (2 π x)$