حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{5 x - 7}{x^{2} - 2}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 5 x - 7$ و $g (x) = x^{2} - 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [5 x - 7] - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x - 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3

اضرب $5$ في $1$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (5 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (5 + 0) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.2

أضف $5$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2) \cdot 5 - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{2} - 2) \cdot 5 - (5 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) \cdot 5 - (5 x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2) \cdot 5 - (5 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 4.6

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2) \cdot 5 - (5 x - 7) (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} \cdot 5 - 2 \cdot 5 - (5 x - 7) (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} \cdot 5 - 2 \cdot 5 + (- (5 x) - - 7) (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} \cdot 5 - 2 \cdot 5 - (5 x) (2 x) - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

انقُل $5$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{5 \cdot x^{2} - 2 \cdot 5 - (5 x) (2 x) - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.2

اضرب $- 2$ في $5$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 - (5 x) (2 x) - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.3

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.3.1

انقُل $x$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 - (5 (x \cdot x)) \cdot 2 - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.3.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 - (5 x^{2}) \cdot 2 - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.4

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 - 5 x^{2} \cdot 2 - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.5

اضرب $2$ في $- 5$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 - 10 x^{2} - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.6

اضرب $- 1$ في $- 7$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 - 10 x^{2} + 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.7

اضرب $2$ في $7$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 - 10 x^{2} + 14 x}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 5.4.2

اطرح $10 x^{2}$ من $5 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 10 + 14 x}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 5.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 5 x^{2} + 14 x - 10}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 5.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 5 x^{2}$ .

$\frac{- (5 x^{2}) + 14 x - 10}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 5.7

أخرِج العامل $- 1$ من $14 x$ .

$\frac{- (5 x^{2}) - (- 14 x) - 10}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 5.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (5 x^{2}) - (- 14 x)$ .

$\frac{- (5 x^{2} - 14 x) - 10}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 5.9

أعِد كتابة $- 10$ بالصيغة $- 1 (10)$ .

$\frac{- (5 x^{2} - 14 x) - 1 (10)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 5.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- (5 x^{2} - 14 x) - 1 (10)$ .

$\frac{- (5 x^{2} - 14 x + 10)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 5.11

أعِد كتابة $- (5 x^{2} - 14 x + 10)$ بالصيغة $- 1 (5 x^{2} - 14 x + 10)$ .

$\frac{- 1 (5 x^{2} - 14 x + 10)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

خطوة 5.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5 x^{2} - 14 x + 10}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$