حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t^{2} - 1$ و $g (t) = t^{2} + 1$ .

$\frac{(t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1] - (t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} - 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (2 t + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (2 t + 0) - (t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $2 t$ و $0$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (2 t) - (t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $t^{2} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (t^{2} + 1) t - (t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{2 (t^{2} + 1) t - (t^{2} - 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 (t^{2} + 1) t - (t^{2} - 1) (2 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + 1) t - (t^{2} - 1) (2 t + 0)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $2 t$ و $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + 1) t - (t^{2} - 1) (2 t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 (t^{2} + 1) t - 2 (t^{2} - 1) t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 t^{2} + 2 \cdot 1) t - 2 (t^{2} - 1) t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 t^{2} t + 2 \cdot 1 t - 2 (t^{2} - 1) t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 t^{2} t + 2 \cdot 1 t + (- 2 t^{2} - 2 \cdot - 1) t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 t^{2} t + 2 \cdot 1 t - 2 t^{2} t - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 t^{2} t + 2 \cdot 1 t - 2 t^{2} t - 2 \cdot - 1 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

اطرح $2 t^{2} t$ من $2 t^{2} t$ .

$\frac{2 \cdot 1 t + 0 - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.2

أضف $2 \cdot 1 t$ و $0$ .

$\frac{2 \cdot 1 t - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 t - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.5.2.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{2 t + 2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.5.3

أضف $2 t$ و $2 t$ .

$\frac{4 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$