حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$t e^{- \frac{t}{4}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = e^{- \frac{t}{4}}$ .

$t \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{4}}] + e^{- \frac{t}{4}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = - \frac{t}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- \frac{t}{4}$ .

$t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{4}]) + e^{- \frac{t}{4}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$t (e^{u} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{4}]) + e^{- \frac{t}{4}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- \frac{t}{4}$ .

$t (e^{- \frac{t}{4}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{4}]) + e^{- \frac{t}{4}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- \frac{t}{4}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t]$ .

$t (e^{- \frac{t}{4}} (- \frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t])) + e^{- \frac{t}{4}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $e^{- \frac{t}{4}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$t (- \frac{e^{- \frac{t}{4}}}{4} \frac{d}{d t} [t]) + e^{- \frac{t}{4}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.2.2

اجمع $t$ و $\frac{e^{- \frac{t}{4}}}{4}$ .

$- \frac{t e^{- \frac{t}{4}}}{4} \frac{d}{d t} [t] + e^{- \frac{t}{4}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{t e^{- \frac{t}{4}}}{4} \cdot 1 + e^{- \frac{t}{4}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{t e^{- \frac{t}{4}}}{4} + e^{- \frac{t}{4}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{t e^{- \frac{t}{4}}}{4} + e^{- \frac{t}{4}} \cdot 1$

خطوة 3.6

اضرب $e^{- \frac{t}{4}}$ في $1$ .

$- \frac{t e^{- \frac{t}{4}}}{4} + e^{- \frac{t}{4}}$