حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$s (t) = \frac{70 t^{2}}{t^{2} + 150}$

خطوة 1

بما أن $70$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{70 t^{2}}{t^{2} + 150}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $70 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{2} + 150}]$ .

$70 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{2} + 150}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t^{2}$ و $g (t) = t^{2} + 150$ .

$70 \frac{(t^{2} + 150) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 150]}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$70 \frac{(t^{2} + 150) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 150]}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 3.2

انقُل $2$ إلى يسار $t^{2} + 150$ .

$70 \frac{2 \cdot (t^{2} + 150) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 150]}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} + 150$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [150]$ .

$70 \frac{2 (t^{2} + 150) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [150])}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$70 \frac{2 (t^{2} + 150) t - t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [150])}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 3.5

بما أن $150$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $150$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$70 \frac{2 (t^{2} + 150) t - t^{2} (2 t + 0)}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $2 t$ و $0$ .

$70 \frac{2 (t^{2} + 150) t - t^{2} (2 t)}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$70 \frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{2} t}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 4

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$70 \frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 (t^{1} t^{2})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$70 \frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{1 + 2}}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 6

أضف $1$ و $2$ .

$70 \frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 7

اجمع $70$ و $\frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$ .

$\frac{70 (2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{70 ((2 t^{2} + 2 \cdot 150) t - 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{70 (2 t^{2} t + 2 \cdot 150 t - 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{70 (2 t^{2} t) + 70 (2 \cdot 150 t) + 70 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

اضرب $t^{2}$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1.1

انقُل $t$ .

$\frac{70 (2 (t \cdot t^{2})) + 70 (2 \cdot 150 t) + 70 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.4.1.1.2

اضرب $t$ في $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{70 (2 (t^{1} t^{2})) + 70 (2 \cdot 150 t) + 70 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.4.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{70 (2 t^{1 + 2}) + 70 (2 \cdot 150 t) + 70 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.4.1.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{70 (2 t^{3}) + 70 (2 \cdot 150 t) + 70 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.4.1.2

اضرب $2$ في $70$ .

$\frac{140 t^{3} + 70 (2 \cdot 150 t) + 70 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.4.1.3

اضرب $2$ في $150$ .

$\frac{140 t^{3} + 70 (300 t) + 70 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.4.1.4

اضرب $300$ في $70$ .

$\frac{140 t^{3} + 21000 t + 70 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.4.1.5

اضرب $- 2$ في $70$ .

$\frac{140 t^{3} + 21000 t - 140 t^{3}}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.4.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $140 t^{3} + 21000 t - 140 t^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

اطرح $140 t^{3}$ من $140 t^{3}$ .

$\frac{21000 t + 0}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.4.2.2

أضف $21000 t$ و $0$ .

$\frac{21000 t}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$