حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 e^{x} \sqrt{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [5 e^{x} x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 e^{x} x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 (e^{x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 8.3

اجمع $e^{x}$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$5 (\frac{e^{x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 8.4

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$5 (\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} e^{x})$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (x^{\frac{1}{2}} e^{x})$

خطوة 10.2

اجمع $5$ و $\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} e^{x}$

خطوة 10.3

أعِد ترتيب الحدود.

$5 e^{x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{5 e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$