حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{x} - e^{y} = x - y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (e^{x} - e^{y}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} - e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{y}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$e^{x} - (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$e^{x} - e^{y} y'$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- e^{y} y' + e^{x}$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$1 - y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- e^{y} y' + e^{x} = 1 - y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد ترتيب العوامل في $- e^{y} y' + e^{x}$ .

$- y' e^{y} + e^{x} = 1 - y'$

خطوة 5.2

أضف $y'$ إلى كلا المتعادلين.

$- y' e^{y} + e^{x} + y' = 1$

خطوة 5.3

اطرح $e^{x}$ من كلا المتعادلين.

$- y' e^{y} + y' = 1 - e^{x}$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $y'$ من $- y' e^{y} + y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $- y' e^{y}$ .

$y' (- 1 e^{y}) + y' = 1 - e^{x}$

خطوة 5.4.2

ارفع $y'$ إلى القوة $1$ .

$y' (- 1 e^{y}) + y' = 1 - e^{x}$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $y'$ من ${y'}^{1}$ .

$y' (- 1 e^{y}) + y' \cdot 1 = 1 - e^{x}$

خطوة 5.4.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 1 e^{y}) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 1 e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$

خطوة 5.5

أعِد كتابة $- 1 e^{y}$ بالصيغة $- e^{y}$ .

$y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$

خطوة 5.6

اقسِم كل حد في $y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$ على $- e^{y} + 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اقسِم كل حد في $y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$ على $- e^{y} + 1$ .

$\frac{y' (- e^{y} + 1)}{- e^{y} + 1} = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

خطوة 5.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- e^{y} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- e^{y} + 1)}{- e^{y} + 1} = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

خطوة 5.6.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

خطوة 5.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{1}{- e^{y} + 1} - \frac{e^{x}}{- e^{y} + 1}$

خطوة 5.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- e^{y} + 1}$

خطوة 5.6.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- e^{y}$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y}) + 1}$

خطوة 5.6.3.4

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y}) - 1 (- 1)}$

خطوة 5.6.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (e^{y}) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y} - 1)}$

خطوة 5.6.3.6

أعِد كتابة السوالب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.6.1

أعِد كتابة $- (e^{y} - 1)$ بالصيغة $- 1 (e^{y} - 1)$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- 1 (e^{y} - 1)}$

خطوة 5.6.3.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{1 - e^{x}}{e^{y} - 1}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - e^{x}}{e^{y} - 1}$