حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x - 8}{x + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 7 x - 8$ و $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x - 8] - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 7 x - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.5

اضرب $- 7$ في $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7 + 0) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7

أضف $2 x - 7$ و $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.10

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 2.11.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8)}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

وسّع $(x + 1) (2 x - 7)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x - 7) + 1 (2 x - 7) - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 7 + 1 (2 x - 7) - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.3

انقُل $- 7$ إلى يسار $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.4

اضرب $2 x$ في $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 2 x + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.5

اضرب $- 7$ في $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 2 x - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2

أضف $- 7 x$ و $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3

اضرب $- 7$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 7 - x^{2} + 7 x - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 7 - x^{2} + 7 x + 8}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 7 + 7 x + 8}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

أضف $- 5 x$ و $7 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 7 + 8}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

أضف $- 7$ و $8$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$1$