حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{e^{2 x}}{x^{8}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = e^{2 x}$ و $g (x) = x^{8}$ .

$\frac{x^{8} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{8}]}{{(x^{8})}^{2}}$

خطوة 2

اضرب الأُسس في ${(x^{8})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{8} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{8 \cdot 2}}$

خطوة 2.2

اضرب $8$ في $2$ .

$\frac{x^{8} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{x^{8} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{x^{8} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\frac{x^{8} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{8} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{8} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

خطوة 4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{x^{8} (e^{2 x} \cdot 2) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

خطوة 4.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{8} (2 \cdot e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 8$ .

$\frac{x^{8} (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (8 x^{7})}{x^{16}}$

خطوة 4.5

اضرب $8$ في $- 1$ .

$\frac{x^{8} (2 e^{2 x}) - 8 e^{2 x} x^{7}}{x^{16}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x^{8} e^{2 x} - 8 e^{2 x} x^{7}}{x^{16}}$

خطوة 5.1.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 x^{8} e^{2 x} - 8 e^{2 x} x^{7}$ .

$\frac{2 x^{8} e^{2 x} - 8 x^{7} e^{2 x}}{x^{16}}$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 e^{2 x} x^{8} - 8 e^{2 x} x^{7}}{x^{16}}$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $2 e^{2 x} x^{7}$ من $2 e^{2 x} x^{8} - 8 e^{2 x} x^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $2 e^{2 x} x^{7}$ من $2 e^{2 x} x^{8}$ .

$\frac{2 e^{2 x} x^{7} (x) - 8 e^{2 x} x^{7}}{x^{16}}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $2 e^{2 x} x^{7}$ من $- 8 e^{2 x} x^{7}$ .

$\frac{2 e^{2 x} x^{7} (x) + 2 e^{2 x} x^{7} (- 4)}{x^{16}}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $2 e^{2 x} x^{7}$ من $2 e^{2 x} x^{7} (x) + 2 e^{2 x} x^{7} (- 4)$ .

$\frac{2 e^{2 x} x^{7} (x - 4)}{x^{16}}$

خطوة 5.4

احذِف العامل المشترك لـ $x^{7}$ و $x^{16}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $x^{7}$ من $2 e^{2 x} x^{7} (x - 4)$ .

$\frac{x^{7} (2 e^{2 x} (x - 4))}{x^{16}}$

خطوة 5.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

أخرِج العامل $x^{7}$ من $x^{16}$ .

$\frac{x^{7} (2 e^{2 x} (x - 4))}{x^{7} x^{9}}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{7} (2 e^{2 x} (x - 4))}{x^{7} x^{9}}$

خطوة 5.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 e^{2 x} (x - 4)}{x^{9}}$