حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (t) = t \sqrt{16 - t^{2}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{16 - t^{2}}$ في صورة ${(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$t \frac{d}{d t} [{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ و $g (t) = 16 - t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $16 - t^{2}$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $16 - t^{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(16 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$t (\frac{{(16 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 8.3

انقُل ${(16 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t (\frac{1}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 8.4

اجمع $\frac{1}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ و $t$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}] + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $16 - t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [16] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [16] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 10

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $16$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 11

أضف $0$ و $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t^{2}] + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 t)) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 14

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 14.2

اجمع $- 2$ و $\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} t + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 14.3

اجمع $\frac{- 2 t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ و $t$ .

$\frac{- 2 t \cdot t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 15

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2 (t^{1} t)}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 16

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2 (t^{1} t^{1})}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 17

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 2 t^{1 + 1}}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 18

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- 2 t^{2}}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 19

أخرِج العامل $2$ من $- 2 t^{2}$ .

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 20

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- t^{2})}{2 ({(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 20.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 20.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 21

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 22

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

خطوة 23

اضرب ${(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$- \frac{t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 24

لكتابة ${(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 25

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- t^{2} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 26

اضرب ${(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ في ${(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 26.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- t^{2} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 26.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- t^{2} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 26.3

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- t^{2} + {(16 - t^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 26.4

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{- t^{2} + {(16 - t^{2})}^{1}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 27

بسّط ${(16 - t^{2})}^{1}$ .

$\frac{- t^{2} + 16 - t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 28

اطرح $t^{2}$ من $- t^{2}$ .

$\frac{- 2 t^{2} + 16}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 29

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 2 t^{2} + 16}{{(- t^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$