حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} \arctan (2 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \arctan (2 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (2 x)] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2

مشتق $\arctan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 (x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.2

اجمع $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ و $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{1 + 4 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.4

اجمع $2$ و $\frac{x^{2}}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.6

اضرب $\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}}$ في $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (2 x)$

خطوة 4

لكتابة $\arctan (2 x) (2 x)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 + 4 x^{2}}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} + \frac{\arctan (2 x) (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 x^{2} + \arctan (2 x) (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} + \arctan (2 x) (2 x) \cdot 1 + \arctan (2 x) (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x \cdot 1 + \arctan (2 x) (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 (x^{2} x)) \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

خطوة 6.2.1.3.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 (x^{2} x^{1})) \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

خطوة 6.2.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 x^{2 + 1}) \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

خطوة 6.2.1.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 x^{3}) \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

خطوة 6.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + 2 \arctan (2 x) x^{3} \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

خطوة 6.2.1.5

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + 8 \arctan (2 x) x^{3}}{1 + 4 x^{2}}$

خطوة 6.2.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + 8 \arctan (2 x) x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \arctan (2 x) + 8 x^{3} \arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}}$

خطوة 6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 x^{2} + 2 x \arctan (2 x) + 8 x^{3} \arctan (2 x)}{4 x^{2} + 1}$