حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{5} \sin^{2} (3 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = \sin^{2} (3 x)$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)] + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (3 x)$ .

$x^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{5} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (3 x)$ .

$x^{5} (2 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x$ .

$x^{5} (2 \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 3.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$x^{5} (2 \sin (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$x^{5} (2 \sin (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{5} (2 \sin (3 x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 4.2

اضرب $3$ في $2$ .

$x^{5} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{5} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) \cdot 1) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 4.4

اضرب $6$ في $1$ .

$x^{5} (6 \sin (3 x) \cos (3 x)) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

خطوة 4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$x^{5} (6 \sin (3 x) \cos (3 x)) + \sin^{2} (3 x) (5 x^{4})$

خطوة 4.6

أعِد ترتيب الحدود.

$6 x^{5} \cos (3 x) \sin (3 x) + 5 x^{4} \sin^{2} (3 x)$