حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x - 2}{x^{2} + 4 x - 12}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x - 2$ و $g (x) = x^{2} + 4 x - 12$ .

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 2.4.2

اضرب $x^{2} + 4 x - 12$ في $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4 x - 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 2.9

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 2.10

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4 + 0)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 2.11

أضف $2 x + 4$ و $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 + (- x - - 2) (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 + (- x + 2) (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2

وسّع $(- x + 2) (2 x + 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - x (2 x + 4) + 2 (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - x (2 x) - x \cdot 4 + 2 (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - x (2 x) - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.1.4

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} - 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.1.5

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} - 4 x + 4 x + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.1.6

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} - 4 x + 4 x + 8}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.2

أضف $- 4 x$ و $4 x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} + 0 + 8}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.3

أضف $- 2 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} + 8}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 12 + 8}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

أضف $- 12$ و $8$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.3

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ ومجموعهما $b = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 (x) - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2

أعِد كتابة $4$ في صورة $2$ زائد $2$

$\frac{- x^{2} + (2 + 2) x - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{(- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{x (- x + 2) - 2 (- x + 2)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- x + 2$ .

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

حلّل $x^{2} + 4 x - 12$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 12$ ومجموعهما $4$ .

$- 2, 6$

خطوة 3.4.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{((x - 2) (x + 6))}^{2}}$

خطوة 3.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $(x - 2) (x + 6)$ .

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{(- (x) + 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

خطوة 3.5.2

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 2)) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

خطوة 3.5.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

خطوة 3.5.4

أعِد كتابة $- (x - 2)$ بالصيغة $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

خطوة 3.5.5

ارفع $x - 2$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

خطوة 3.5.6

ارفع $x - 2$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

خطوة 3.5.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{1 + 1}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

خطوة 3.5.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

خطوة 3.6

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x - 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

خطوة 3.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{{(x + 6)}^{2}}$