حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x - 1}{e^{x}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x - 1$ و $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{x})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

خطوة 2.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{e^{x} (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{e^{x} \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 2.5.2

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$\frac{e^{x} - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - (x - 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{x} + (- x - - 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{x} - x e^{x} - - 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x} + 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.3.1.2

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x} + e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.3.2

أضف $e^{x}$ و $e^{x}$ .

$\frac{- x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.5

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- e^{x} x + 2 e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- x) + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.5.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2}{e^{2 x}}$

خطوة 4.5.3

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (- x + 2)}{e^{2 x}}$

خطوة 4.6

احذِف العامل المشترك لـ $e^{x}$ و $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $e^{x} (- x + 2)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x}}$

خطوة 4.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x} \cdot 1}$

خطوة 4.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x} \cdot 1}$

خطوة 4.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{- x} (- x + 2)}{1}$

خطوة 4.6.2.4

اقسِم $e^{- x} (- x + 2)$ على $1$ .

$e^{- x} (- x + 2)$

خطوة 4.7

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 2$

خطوة 4.8

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 2$

خطوة 4.9

انقُل $2$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$- e^{- x} x + 2 \cdot e^{- x}$

خطوة 4.10

أعِد ترتيب العوامل في $- e^{- x} x + 2 e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + 2 e^{- x}$