حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x - 5}{x^{2} - 3 x + 15}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x - 5$ و $g (x) = x^{2} - 3 x + 15$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.4.2

اضرب $x^{2} - 3 x + 15$ في $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 3 x + 15$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.9

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.10

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $15$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3 + 0)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 2.11

أضف $2 x - 3$ و $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 + (- x - - 5) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 + (- x + 5) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2

وسّع $(- x + 5) (2 x - 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - x (2 x) - x \cdot - 3 + 5 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - x (2 x) - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.1.4

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 3 x + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.1.5

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 3 x + 10 x + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.1.6

اضرب $5$ في $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 3 x + 10 x - 15}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.2

أضف $3 x$ و $10 x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 13 x - 15}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 13 x - 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اطرح $15$ من $15$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 13 x + 0}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.2.2

أضف $x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 13 x$ و $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 13 x}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 13 x}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

أضف $- 3 x$ و $13 x$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.3

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2} + 10 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 10 x}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $x$ من $10 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 10}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x (- x) + x \cdot 10$ .

$\frac{x (- x + 10)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 10)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $10$ بالصيغة $- 1 (- 10)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 10))}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{x (- (x - 10))}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.7

أعِد كتابة $- (x - 10)$ بالصيغة $- 1 (x - 10)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 10))}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

خطوة 3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x (x - 10)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$