حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{4 \sin (x) + 2}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{4 \sin (x) + 2}$ في صورة ${(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 4 \sin (x) + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 \sin (x) + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 \sin (x) + 2$ .

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

خطوة 7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

خطوة 7.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(4 \sin (x) + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 \sin (x) + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

خطوة 7.2.2

انقُل ${(4 \sin (x) + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

خطوة 7.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 \sin (x) + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 7.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 8

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cos (x) + 0)$

خطوة 9.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أضف $4 \cos (x)$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cos (x))$

خطوة 9.2.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cos (x)$

خطوة 9.2.3

اجمع $\frac{4}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ و $\cos (x)$ .

$\frac{4 \cos (x)}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.2.4

أخرِج العامل $2$ من $4 \cos (x)$ .

$\frac{2 (2 \cos (x))}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 \cos (x))}{2 ({(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 10.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 \cos (x))}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \cos (x)}{{(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 \cos (x)}{{(2 + 4 \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$