حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{x \ln (x^{4})}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x \ln (x^{4})}$ في صورة ${(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x \ln (x^{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x \ln (x^{4})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x \ln (x^{4})$ .

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x \ln (x^{4}))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x \ln (x^{4}))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

خطوة 7.3

انقُل ${(x \ln (x^{4}))}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x^{4})$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{4}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 9.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 9.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{4}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $\frac{1}{x^{4}}$ و $x$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10.2

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{1}}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10.2.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{x^{3}} (4 x^{3}) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{4}{x^{3}} x^{3} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10.4.2

اجمع $\frac{4}{x^{3}}$ و $x^{3}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10.4.3.2

اقسِم $4$ على $1$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (4 + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (4 + \ln (x^{4}) \cdot 1)$

خطوة 10.6

اضرب $\ln (x^{4})$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (4 + \ln (x^{4}))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق قاعدة الضرب على $x \ln (x^{4})$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} (4 + \ln (x^{4}))$

خطوة 11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \cdot 4 + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

خطوة 11.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اجمع $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ و $4$ .

$\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

خطوة 11.3.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

خطوة 11.3.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

خطوة 11.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

خطوة 11.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

خطوة 11.3.4

اجمع $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ و $\ln (x^{4})$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x^{4})}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3.5

انقُل ${\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x^{4}) {\ln (x^{4})}^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3.6

اضرب $\ln (x^{4})$ في ${\ln (x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.6.1

اضرب $\ln (x^{4})$ في ${\ln (x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.6.1.1

ارفع $\ln (x^{4})$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln^{1} (x^{4}) {\ln (x^{4})}^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3.6.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{\ln (x^{4})}^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3.6.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{\ln (x^{4})}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3.6.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{\ln (x^{4})}^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3.6.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$