حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 4

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 5

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) + 1 \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 5.2

اضرب $\tan (x)$ في $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $\sec^{2} (x)$ في $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.1.5

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.1.6

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.1.7

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.1.8

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.8.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.1.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.1.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.1.9

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.1.10

اضرب $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.10.1

اجمع $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ و $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.1.10.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.1.10.3

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.1.10.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.1.10.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ بالصيغة ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.2.4

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.2.5

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.2.6

افصِل الكسور.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.2.7

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \frac{\sin (x)}{1} \tan (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2.2.8

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \sin (x) \tan (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.2

اضرب $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

اجمع $\sin (x)$ و $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.2.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.2.3

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.3

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.6

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.5.2

افصِل الكسور.

$\frac{\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.5.3

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{1} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.5.4

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.5.5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.5.6

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ بالصيغة ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) \tan (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.5.7

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.5.8

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$