حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{54 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1

بما أن $54$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{54 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $54 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(25 - x^{2})}^{2}}]$ .

$54 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(25 - x^{2})}^{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(25 - x^{2})}^{2}$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{({(25 - x^{2})}^{2})}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب الأُسس في ${({(25 - x^{2})}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

خطوة 3.3

اضرب ${(25 - x^{2})}^{2}$ في $1$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = 25 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $25 - x^{2}$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $25 - x^{2}$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x (2 (25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

خطوة 5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $25 - x^{2}$ من ${(25 - x^{2})}^{2} - 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $25 - x^{2}$ من ${(25 - x^{2})}^{2}$ .

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2}) - 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $25 - x^{2}$ من $- 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])$ .

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2}) + (25 - x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $25 - x^{2}$ من $(25 - x^{2}) (25 - x^{2}) + (25 - x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))$ .

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

خطوة 6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أخرِج العامل $25 - x^{2}$ من ${(25 - x^{2})}^{4}$ .

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{(25 - x^{2}) {(25 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك.

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{(25 - x^{2}) {(25 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 6.3

أعِد كتابة العبارة.

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $25 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 8

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $25$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 9

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 11

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 2 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 2 x (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 13

اضرب $2$ في $2$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 x \cdot x}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 14

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 (x^{1} x)}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 15

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 (x^{1} x^{1})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 16

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 x^{1 + 1}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 17

أضف $1$ و $1$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 18

أضف $- x^{2}$ و $4 x^{2}$ .

$54 \frac{25 + 3 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 19

اجمع $54$ و $\frac{25 + 3 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$ .

$\frac{54 (25 + 3 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 20

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{54 \cdot 25 + 54 (3 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 20.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1

اضرب $54$ في $25$ .

$\frac{1350 + 54 (3 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 20.2.2

اضرب $3$ في $54$ .

$\frac{1350 + 162 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

خطوة 20.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{162 x^{2} + 1350}{{(- x^{2} + 25)}^{3}}$