حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{4}{1 + x^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4}{1 + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{1 + x^{2}}$ بالصيغة ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = 1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + x^{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + x^{2}$ .

$4 (- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- 4 ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 4 {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 4 {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

خطوة 3.6

اضرب $2$ في $- 4$ .

$- 8 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

خطوة 4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع $- 8$ و $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

خطوة 4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{8}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

خطوة 4.2.3

اجمع $x$ و $\frac{8}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 8}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.2.4

انقُل $8$ إلى يسار $x$ .

$- \frac{8 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$