حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{4 - \cos (x)}{4 + \sin (x)}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 4 - \cos (x)$ و $g (x) = 4 + \sin (x)$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 - \cos (x)] - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 - \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) (- - \sin (x)) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) (1 \sin (x)) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 4.2

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) \sin (x) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 4.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 + \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) \sin (x) - (4 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 4.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) \sin (x) - (4 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 4.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) \sin (x) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 5

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) \sin (x) - (4 - \cos (x)) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - (4 - \cos (x)) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + (- 1 \cdot 4 - - \cos (x)) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - 1 \cdot 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1

اضرب $\sin (x) \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) - 1 \cdot 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.1.1.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - 1 \cdot 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.1.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.1.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 \cdot 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.1.3

اضرب $- - \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.1.3.2

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.1.4

اضرب $\cos (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.4.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.1.4.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.1.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.1.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.2

انقُل $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 4 \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 6.4.3

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\frac{4 \sin (x) + 1 - 4 \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

خطوة 6.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1 + 4 \sin (x) - 4 \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$