حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{120 x^{2}}{x^{2} + 4}$

خطوة 1

بما أن $120$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{120 x^{2}}{x^{2} + 4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $120 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 4}]$ .

$120 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 4}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 4$ .

$120 \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$120 \frac{(x^{2} + 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + 4$ .

$120 \frac{2 \cdot (x^{2} + 4) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 6

أضف $1$ و $2$ .

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 7

اجمع $120$ و $\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{120 (2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{120 ((2 x^{2} + 2 \cdot 4) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{120 (2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{120 (2 x^{2} x) + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 8.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{120 (2 (x \cdot x^{2})) + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 8.4.1.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{120 (2 (x^{1} x^{2})) + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 8.4.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{120 (2 x^{1 + 2}) + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 8.4.1.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{120 (2 x^{3}) + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 8.4.1.2

اضرب $2$ في $120$ .

$\frac{240 x^{3} + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 8.4.1.3

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{240 x^{3} + 120 (8 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 8.4.1.4

اضرب $8$ في $120$ .

$\frac{240 x^{3} + 960 x + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 8.4.1.5

اضرب $- 2$ في $120$ .

$\frac{240 x^{3} + 960 x - 240 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 8.4.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $240 x^{3} + 960 x - 240 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

اطرح $240 x^{3}$ من $240 x^{3}$ .

$\frac{960 x + 0}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 8.4.2.2

أضف $960 x$ و $0$ .

$\frac{960 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$