حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1 - x e^{x}}{x + e^{x}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1 - x e^{x}$ و $g (x) = x + e^{x}$ .

$\frac{(x + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - x e^{x}] - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

$\frac{(x + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

$\frac{(x + e^{x}) \frac{d}{d x} [- x e^{x}] - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [x e^{x}]) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 5.2

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (1 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 5.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (1 - x e^{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (1 - x e^{x}) (1 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (1 - x e^{x}) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x}) - e^{x}) - (1 - x e^{x}) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x}) - e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

وسّع $(x + e^{x}) (- x e^{x} - e^{x})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (- x e^{x} - e^{x}) + e^{x} (- x e^{x} - e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (- x e^{x}) + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x} - e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (- x e^{x}) + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- x (x e^{x}) + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{- (x \cdot x) e^{x} + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.2.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.2.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{x} (x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.2.5

اضرب $e^{x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.5.1

انقُل $e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - (e^{x} e^{x}) x + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.2.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{x + x} x + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.2.5.3

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.2.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{x} e^{x} + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.2.7

اضرب $e^{x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.7.1

انقُل $e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - (e^{x} e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.2.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{x + x} + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.2.7.3

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 \cdot 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.3.2

اضرب $- (- x e^{x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.3.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 + 1 (x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.3.2.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 + x e^{x}) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.4

وسّع $(- 1 + x e^{x}) (1 + e^{x})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 (1 + e^{x}) + x e^{x} (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 \cdot 1 - 1 e^{x} + x e^{x} (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 \cdot 1 - 1 e^{x} + x e^{x} \cdot 1 + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.5.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - 1 e^{x} + x e^{x} \cdot 1 + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.5.2

أعِد كتابة $- 1 e^{x}$ بالصيغة $- e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} \cdot 1 + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.5.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.5.4

اضرب $e^{x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.5.4.1

انقُل $e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x (e^{x} e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.5.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x e^{x + x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.1.5.4.3

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x e^{2 x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{x} + x e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

أضف $- x e^{x}$ و $x e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} + 0 - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{2 x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.2.2

أضف $- x^{2} e^{x}$ و $0$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + x e^{2 x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.2.3

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $- e^{2 x} x$ و $x e^{2 x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 1 - e^{x} + e^{2 x} x}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.2.4

أضف $- e^{2 x} x$ و $e^{2 x} x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} + 0 - e^{2 x} - 1 - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.3.2.5

أضف $- x^{2} e^{x}$ و $0$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - e^{2 x} - 1 - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- e^{x} x^{2} - 1 - e^{2 x} - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- e^{x} x^{2}$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2}) - 1 - e^{2 x} - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.6

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2}) - 1 (1) - e^{2 x} - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (e^{x} x^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1) - e^{2 x} - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- e^{2 x}$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1) - (e^{2 x}) - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (e^{x} x^{2} + 1) - (e^{2 x})$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x}) - e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- e^{x}$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x}) - (e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.11

أخرِج العامل $- 1$ من $- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x}) - (e^{x})$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.12

أعِد كتابة $- (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x})$ بالصيغة $- 1 (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x})$ .

$\frac{- 1 (e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 7.14

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{e^{x} x^{2} + 1 + e^{2 x} + e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} e^{x} + 1 + e^{2 x} + e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$