حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (t) = {(9 t + 2)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{\frac{2}{3}}$ و $g (t) = 9 t + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $9 t + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $9 t + 2$ .

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

خطوة 2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

خطوة 3

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

خطوة 4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

خطوة 5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

خطوة 5.2

اطرح $3$ من $2$ .

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

خطوة 6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{3} {(9 t + 2)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(9 t + 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(9 t + 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

خطوة 6.3

انقُل ${(9 t + 2)}^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [9 t + 2]$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 t + 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [2])$

خطوة 8

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $9 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} (9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2])$

خطوة 10

اضرب $9$ في $1$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} (9 + \frac{d}{d t} [2])$

خطوة 11

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} (9 + 0)$

خطوة 12

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أضف $9$ و $0$ .

$\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 9$

خطوة 12.2

اجمع $\frac{2}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ و $9$ .

$\frac{2 \cdot 9}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 12.3

اضرب $2$ في $9$ .

$\frac{18}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 12.4

أخرِج العامل $3$ من $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أخرِج العامل $3$ من $3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 ({(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}})}$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 6}{3 {(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 13.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{6}{{(9 t + 2)}^{\frac{1}{3}}}$