حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (t) = \frac{6}{\sqrt{t^{2} - 9}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t^{2} - 9}$ في صورة ${(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 1.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 1.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${({(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d t} [{({(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 1.3.2

اضرب الأُسس في ${({(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

خطوة 1.3.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 9)}^{\frac{- 1}{2}}]$

خطوة 1.3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{- \frac{1}{2}}$ و $g (t) = t^{2} - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $t^{2} - 9$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t^{2} - 9$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

خطوة 7

انقُل السالب أمام الكسر.

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

خطوة 8

اجمع ${(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$6 (- \frac{{(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

خطوة 9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل ${(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 (- \frac{1}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

خطوة 9.2

اضرب $- 1$ في $6$ .

$- 6 (\frac{1}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

خطوة 10

اجمع $\frac{1}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ و $- 6$ .

$\frac{- 6}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

خطوة 11

أخرِج العامل $2$ من $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

خطوة 12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 ({(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

خطوة 12.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

خطوة 12.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

خطوة 13

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

خطوة 14

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} - 9$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9])$

خطوة 15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 t + \frac{d}{d t} [- 9])$

خطوة 16

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 t + 0)$

خطوة 17

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

أضف $2 t$ و $0$ .

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 t)$

خطوة 17.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} t$

خطوة 17.3

اجمع $- 2$ و $\frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} t$

خطوة 17.4

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{- 6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} t$

خطوة 17.5

اجمع $\frac{- 6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ و $t$ .

$\frac{- 6 t}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 17.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{6 t}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$