حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\tan (\sqrt{3 t})$

خطوة 1

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3 t}$ في صورة ${(3 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\tan ({(3 t)}^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $3$ من $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [\tan ({(3 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 1.3

طبّق قاعدة الضرب على $3 (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \tan (t)$ و $g (t) = 3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

مشتق $\tan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $3^{\frac{1}{2}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

خطوة 8

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 10

اجمع $3^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{3^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 11

انقُل $t^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 12

اجمع $\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ و $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 13

أعِد ترتيب العوامل في $\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$