حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (x - 7) + \ln (x + 8) = 1$

خطوة 1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 7) (x + 8)) = 1$

خطوة 1.2

وسّع $(x - 7) (x + 8)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (x (x + 8) - 7 (x + 8)) = 1$

خطوة 1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 8 - 7 (x + 8)) = 1$

خطوة 1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 8 - 7 x - 7 \cdot 8) = 1$

خطوة 1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 8 - 7 x - 7 \cdot 8) = 1$

خطوة 1.3.1.2

انقُل $8$ إلى يسار $x$ .

$\ln (x^{2} + 8 \cdot x - 7 x - 7 \cdot 8) = 1$

خطوة 1.3.1.3

اضرب $- 7$ في $8$ .

$\ln (x^{2} + 8 x - 7 x - 56) = 1$

خطوة 1.3.2

اطرح $7 x$ من $8 x$ .

$\ln (x^{2} + x - 56) = 1$

خطوة 2

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x^{2} + x - 56)} = e^{1}$

خطوة 3

أعِد كتابة $\ln (x^{2} + x - 56) = 1$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{2} + x - 56$

خطوة 4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x^{2} + x - 56 = e^{1}$ .

$x^{2} + x - 56 = e$

خطوة 4.2

اطرح $e$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} + x - 56 - e = 0$

خطوة 4.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.4

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 1$ و $c = - 56 - e$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 56 - e))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 56 - e)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 56 - e)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 56 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.4

اضرب $- 4$ في $- 56$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.5

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.1.6

أضف $1$ و $224$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{225 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{225 + 4 e}}{2}$

خطوة 4.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - \frac{1 - \sqrt{225 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{225 + 4 e}}{2}$

خطوة 5

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\ln (x - 7) + \ln (x + 8) = 1$ صحيحة.

$x = - \frac{1 - \sqrt{225 + 4 e}}{2}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = - \frac{1 - \sqrt{225 + 4 e}}{2}$

الصيغة العشرية:

$x = 7.17908079 \dots$