حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}} = 3^{4 x}$

خطوة 1

خُذ اللوغاريتم لكلا المتعادلين.

$\ln ({(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}}) = \ln (3^{4 x})$

خطوة 2

وسّع $\ln ({(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}})$ بنقل $1 - 3 x^{2}$ خارج اللوغاريتم.

$(1 - 3 x^{2}) \ln (\frac{1}{25}) = \ln (3^{4 x})$

خطوة 3

أعِد كتابة $\ln (\frac{1}{25})$ بالصيغة $\ln (1) - \ln (25)$ .

$(1 - 3 x^{2}) (\ln (1) - \ln (25)) = \ln (3^{4 x})$

خطوة 4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - \ln (25)) = \ln (3^{4 x})$

خطوة 5

أعِد كتابة $\ln (25)$ بالصيغة $\ln (5^{2})$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - \ln (5^{2})) = \ln (3^{4 x})$

خطوة 6

وسّع $\ln (5^{2})$ بنقل $2$ خارج اللوغاريتم.

$(1 - 3 x^{2}) (0 - (2 \ln (5))) = \ln (3^{4 x})$

خطوة 7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - 2 \ln (5)) = \ln (3^{4 x})$

خطوة 8

اطرح $2 \ln (5)$ من $0$ .

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = \ln (3^{4 x})$

خطوة 9

وسّع $\ln (3^{4 x})$ بنقل $4 x$ خارج اللوغاريتم.

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

خطوة 10

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط $(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أعِد الكتابة.

$0 + 0 + (1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

خطوة 10.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

خطوة 10.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 (- 2 \ln (5)) - 3 x^{2} (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

خطوة 10.1.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.4.1

اضرب $- 2 \ln (5)$ في $1$ .

$- 2 \ln (5) - 3 x^{2} (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

خطوة 10.1.4.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 2 \ln (5) - 3 \cdot - 2 x^{2} \ln (5) = 4 x \ln (3)$

خطوة 10.1.4.3

اضرب $- 3$ في $- 2$ .

$- 2 \ln (5) + 6 x^{2} \ln (5) = 4 x \ln (3)$

خطوة 10.2

اطرح $4 x \ln (3)$ من كلا المتعادلين.

$- 2 \ln (5) + 6 x^{2} \ln (5) - 4 x \ln (3) = 0$

خطوة 10.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 10.4

عوّض بقيم $a = 6 \ln (5)$ و $b = - 4 \ln (3)$ و $c = - 2 \ln (5)$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (6 \ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))}}{2 (6 \ln (5))}$

خطوة 10.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1.1

أضف الأقواس.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

خطوة 10.5.1.2

لنفترض أن $u = 6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $- 4 \ln (3)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} \ln^{2} (3) - 4 \cdot u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

خطوة 10.5.1.2.2

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{16 \ln^{2} (3) - 4 u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

خطوة 10.5.1.3

أخرِج العامل $4$ من $16 \ln^{2} (3) - 4 u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $16 \ln^{2} (3)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3)) - 4 u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

خطوة 10.5.1.3.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4 u$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3)) + 4 (- u)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

خطوة 10.5.1.3.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (4 \ln^{2} (3)) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - u)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

خطوة 10.5.1.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

خطوة 10.5.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1.5.1

اضرب $\ln (5)$ في $\ln (5)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1.5.1.1

انقُل $\ln (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln (5) \ln (5) \cdot - 2)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

خطوة 10.5.1.5.1.2

اضرب $\ln (5)$ في $\ln (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln^{2} (5) \cdot - 2)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

خطوة 10.5.1.5.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $\ln^{2} (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (- 2 \cdot \ln^{2} (5))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

خطوة 10.5.1.5.3

اضرب $- 2$ في $6$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (- 12 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

خطوة 10.5.1.5.4

اضرب $- 12$ في $- 1$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

خطوة 10.5.1.6

أخرِج العامل $4$ من $4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1.6.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \ln^{2} (3)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

خطوة 10.5.1.6.2

أخرِج العامل $4$ من $12 \ln^{2} (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 4 (3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

خطوة 10.5.1.6.3

أخرِج العامل $4$ من $4 \ln^{2} (3) + 4 (3 \ln^{2} (5))$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 \cdot (4 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

خطوة 10.5.1.7

اضرب $4$ في $4$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{16 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

خطوة 10.5.1.8

أعِد كتابة $16 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))$ بالصيغة ${(2^{2})}^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1.8.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

خطوة 10.5.1.8.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

خطوة 10.5.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 2^{2} \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

خطوة 10.5.1.10

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

خطوة 10.5.2

اضرب $2$ في $6$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{12 \ln (5)}$

خطوة 10.5.3

بسّط $\frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{12 \ln (5)}$ .

$x = \frac{\ln (3) \pm \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

خطوة 10.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{\ln (3) + \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}, \frac{\ln (3) - \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = \frac{\ln (3) + \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}, \frac{\ln (3) - \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

الصيغة العشرية:

$x = 0.84810424 \dots, - 0.39303344 \dots$