حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = 0$ , $x = 3$ , $y = 2 e^{5 x}$ , $y = e^{5 x} + e^{10}$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$2 e^{5 x} = e^{5 x} + e^{10}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 e^{5 x} = e^{5 x} + e^{10}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة $e^{5 x}$ في صورة أُس.

$2 e^{5 x} = {(e^{x})}^{5} + e^{10} = e^{5 x} + e^{10}$

خطوة 1.2.2

عوّض بقيمة $e^{x}$ التي تساوي $u$ .

$2 e^{5 x} = u^{5} + e^{10} = e^{5 x} + e^{10}$

خطوة 1.2.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اطرح $e^{5 x}$ من كلا المتعادلين.

$2 e^{5 x} - e^{5 x} = e^{10}$

خطوة 1.2.3.2

اطرح $e^{5 x}$ من $2 e^{5 x}$ .

$e^{5 x} = e^{10}$

خطوة 1.2.4

بما أن العددين متساويان في الأساس، إذن تتساوى العبارتان فقط إذا تساوى الأُسان أيضًا.

$5 x = 10$

خطوة 1.2.5

اقسِم كل حد في $5 x = 10$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

اقسِم كل حد في $5 x = 10$ على $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

خطوة 1.2.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

خطوة 1.2.5.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{10}{5}$

خطوة 1.2.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1

اقسِم $10$ على $5$ .

$x = 2$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

$y = e^{5 (2)} + e^{10}$

خطوة 1.3.2

بسّط $e^{5 (2)} + e^{10}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

اضرب $5$ في $2$ .

$y = e^{10} + e^{10}$

خطوة 1.3.2.2

أضف $e^{10}$ و $e^{10}$ .

$y = 2 e^{10}$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(2, 2 e^{10})$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{2} e^{5 x} + e^{10} d x - \int_{0}^{2} 2 e^{5 x} d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{2} e^{5 x} + e^{10} - (2 e^{5 x}) d x$

خطوة 3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int_{0}^{2} e^{5 x} + e^{10} - 2 e^{5 x} d x$

خطوة 3.3

اطرح $2 e^{5 x}$ من $e^{5 x}$ .

$\int_{0}^{2} e^{10} - e^{5 x} d x$

خطوة 3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{2} e^{10} d x + \int_{0}^{2} - e^{5 x} d x$

خطوة 3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{10} x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - e^{5 x} d x$

خطوة 3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{10} x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} e^{5 x} d x$

خطوة 3.7

لنفترض أن $u = 5 x$ . إذن $d u = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

افترض أن $u = 5 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1

أوجِد مشتقة $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 3.7.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 3.7.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 3.7.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

خطوة 3.7.3

اضرب $5$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 3.7.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 2$

خطوة 3.7.5

اضرب $5$ في $2$ .

$u_{upper} = 10$

خطوة 3.7.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10$

خطوة 3.7.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$e^{10} x]_{0}^{2} - \int_{0}^{10} e^{u} \frac{1}{5} d u$

خطوة 3.8

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{5}$ .

$e^{10} x]_{0}^{2} - \int_{0}^{10} \frac{e^{u}}{5} d u$

خطوة 3.9

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$e^{10} x]_{0}^{2} - (\frac{1}{5} \int_{0}^{10} e^{u} d u)$

خطوة 3.10

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{10} x]_{0}^{2} - \frac{1}{5} e^{u}]_{0}^{10}$

خطوة 3.11

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

احسِب قيمة $e^{10} x$ في $2$ وفي $0$ .

$(e^{10} \cdot 2) - e^{10} \cdot 0 - \frac{1}{5} e^{u}]_{0}^{10}$

خطوة 3.11.2

احسِب قيمة $e^{u}$ في $10$ وفي $0$ .

$(e^{10} \cdot 2) - e^{10} \cdot 0 - \frac{1}{5} ((e^{10}) - e^{0})$

خطوة 3.11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $e^{10}$ .

$2 \cdot e^{10} - e^{10} \cdot 0 - \frac{1}{5} ((e^{10}) - e^{0})$

خطوة 3.11.3.2

اضرب $0$ في $- 1$ .

$2 e^{10} + 0 e^{10} - \frac{1}{5} ((e^{10}) - e^{0})$

خطوة 3.11.3.3

اضرب $0$ في $e^{10}$ .

$2 e^{10} + 0 - \frac{1}{5} ((e^{10}) - e^{0})$

خطوة 3.11.3.4

أضف $2 e^{10}$ و $0$ .

$2 e^{10} - \frac{1}{5} ((e^{10}) - e^{0})$

خطوة 3.11.3.5

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$2 e^{10} - \frac{1}{5} (e^{10} - 1 \cdot 1)$

خطوة 3.11.3.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 e^{10} - \frac{1}{5} (e^{10} - 1)$

خطوة 3.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 e^{10} - \frac{1}{5} e^{10} - \frac{1}{5} \cdot - 1$

خطوة 3.12.1.2

اجمع $e^{10}$ و $\frac{1}{5}$ .

$2 e^{10} - \frac{e^{10}}{5} - \frac{1}{5} \cdot - 1$

خطوة 3.12.1.3

اضرب $- \frac{1}{5} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$2 e^{10} - \frac{e^{10}}{5} + 1 (\frac{1}{5})$

خطوة 3.12.1.3.2

اضرب $\frac{1}{5}$ في $1$ .

$2 e^{10} - \frac{e^{10}}{5} + \frac{1}{5}$

خطوة 3.12.2

لكتابة $2 e^{10}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$2 e^{10} \cdot \frac{5}{5} - \frac{e^{10}}{5} + \frac{1}{5}$

خطوة 3.12.3

اجمع $2 e^{10}$ و $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 e^{10} \cdot 5}{5} - \frac{e^{10}}{5} + \frac{1}{5}$

خطوة 3.12.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 e^{10} \cdot 5 - e^{10}}{5} + \frac{1}{5}$

خطوة 3.12.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 e^{10} \cdot 5 - e^{10} + 1}{5}$

خطوة 3.12.6

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{10 e^{10} - e^{10} + 1}{5}$

خطوة 3.12.7

اطرح $e^{10}$ من $10 e^{10}$ .

$\frac{9 e^{10} + 1}{5}$

خطوة 4

$A r e a = \int_{2}^{3} 2 e^{5 x} d x - \int_{2}^{3} e^{5 x} + e^{10} d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $2$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{2}^{3} 2 e^{5 x} - (e^{5 x} + e^{10}) d x$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{2}^{3} 2 e^{5 x} - e^{5 x} - e^{10} d x$

خطوة 5.3

اطرح $e^{5 x}$ من $2 e^{5 x}$ .

$\int_{2}^{3} e^{5 x} - e^{10} d x$

خطوة 5.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{2}^{3} e^{5 x} d x + \int_{2}^{3} - e^{10} d x$

خطوة 5.5

لنفترض أن $u = 5 x$ . إذن $d u = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

افترض أن $u = 5 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

أوجِد مشتقة $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 5.5.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 5.5.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 5.5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 2$

خطوة 5.5.3

اضرب $5$ في $2$ .

$u_{lower} = 10$

خطوة 5.5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 3$

خطوة 5.5.5

اضرب $5$ في $3$ .

$u_{upper} = 15$

خطوة 5.5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 10$

$u_{upper} = 15$

خطوة 5.5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{10}^{15} e^{u} \frac{1}{5} d u + \int_{2}^{3} - e^{10} d x$

خطوة 5.6

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{5}$ .

$\int_{10}^{15} \frac{e^{u}}{5} d u + \int_{2}^{3} - e^{10} d x$

خطوة 5.7

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} \int_{10}^{15} e^{u} d u + \int_{2}^{3} - e^{10} d x$

خطوة 5.8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{5} e^{u}]_{10}^{15} + \int_{2}^{3} - e^{10} d x$

خطوة 5.9

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{5} e^{u}]_{10}^{15} + - e^{10} x]_{2}^{3}$

خطوة 5.10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $15$ وفي $10$ .

$\frac{1}{5} ((e^{15}) - e^{10}) + - e^{10} x]_{2}^{3}$

خطوة 5.10.2

احسِب قيمة $- e^{10} x$ في $3$ وفي $2$ .

$\frac{1}{5} ((e^{15}) - e^{10}) + (- e^{10} \cdot 3) + e^{10} \cdot 2$

خطوة 5.10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.3.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{5} (e^{15} - e^{10}) - 3 e^{10} + e^{10} \cdot 2$

خطوة 5.10.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $e^{10}$ .

$\frac{1}{5} (e^{15} - e^{10}) - 3 e^{10} + 2 \cdot e^{10}$

خطوة 5.10.3.3

أضف $- 3 e^{10}$ و $2 e^{10}$ .

$\frac{1}{5} (e^{15} - e^{10}) - e^{10}$

خطوة 5.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{5} e^{15} + \frac{1}{5} (- e^{10}) - e^{10}$

خطوة 5.11.1.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و $e^{15}$ .

$\frac{e^{15}}{5} + \frac{1}{5} (- e^{10}) - e^{10}$

خطوة 5.11.1.3

اجمع $\frac{1}{5}$ و $e^{10}$ .

$\frac{e^{15}}{5} - \frac{e^{10}}{5} - e^{10}$

خطوة 5.11.2

لكتابة $- e^{10}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{e^{15}}{5} - \frac{e^{10}}{5} - e^{10} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 5.11.3

اجمع $- e^{10}$ و $\frac{5}{5}$ .

$\frac{e^{15}}{5} - \frac{e^{10}}{5} + \frac{- e^{10} \cdot 5}{5}$

خطوة 5.11.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{15}}{5} + \frac{- e^{10} - e^{10} \cdot 5}{5}$

خطوة 5.11.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{15} - e^{10} - e^{10} \cdot 5}{5}$

خطوة 5.11.6

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{e^{15} - e^{10} - 5 e^{10}}{5}$

خطوة 5.11.7

اطرح $5 e^{10}$ من $- e^{10}$ .

$\frac{e^{15} - 6 e^{10}}{5}$

خطوة 6

اجمع المساحات $\frac{9 e^{10} + 1}{5} + \frac{e^{15} - 6 e^{10}}{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{9 e^{10} + 1 + e^{15} - 6 e^{10}}{5}$

خطوة 6.2

اطرح $6 e^{10}$ من $9 e^{10}$ .

$\frac{3 e^{10} + 1 + e^{15}}{5}$

خطوة 7