حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = 0$ , $x = 3$ , $y = 2 e^{3 x}$ , $y = e^{3 x} + e^{6}$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$2 e^{3 x} = e^{3 x} + e^{6}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 e^{3 x} = e^{3 x} + e^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة $e^{3 x}$ في صورة أُس.

$2 e^{3 x} = {(e^{x})}^{3} + e^{6} = e^{3 x} + e^{6}$

خطوة 1.2.2

عوّض بقيمة $e^{x}$ التي تساوي $u$ .

$2 e^{3 x} = u^{3} + e^{6} = e^{3 x} + e^{6}$

خطوة 1.2.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اطرح $e^{3 x}$ من كلا المتعادلين.

$2 e^{3 x} - e^{3 x} = e^{6}$

خطوة 1.2.3.2

اطرح $e^{3 x}$ من $2 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} = e^{6}$

خطوة 1.2.4

بما أن العددين متساويان في الأساس، إذن تتساوى العبارتان فقط إذا تساوى الأُسان أيضًا.

$3 x = 6$

خطوة 1.2.5

اقسِم كل حد في $3 x = 6$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

اقسِم كل حد في $3 x = 6$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{6}{3}$

خطوة 1.2.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{6}{3}$

خطوة 1.2.5.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{6}{3}$

خطوة 1.2.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1

اقسِم $6$ على $3$ .

$x = 2$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

$y = e^{3 (2)} + e^{6}$

خطوة 1.3.2

بسّط $e^{3 (2)} + e^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

اضرب $3$ في $2$ .

$y = e^{6} + e^{6}$

خطوة 1.3.2.2

أضف $e^{6}$ و $e^{6}$ .

$y = 2 e^{6}$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(2, 2 e^{6})$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{2} e^{3 x} + e^{6} d x - \int_{0}^{2} 2 e^{3 x} d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{2} e^{3 x} + e^{6} - (2 e^{3 x}) d x$

خطوة 3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int_{0}^{2} e^{3 x} + e^{6} - 2 e^{3 x} d x$

خطوة 3.3

اطرح $2 e^{3 x}$ من $e^{3 x}$ .

$\int_{0}^{2} e^{6} - e^{3 x} d x$

خطوة 3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{2} e^{6} d x + \int_{0}^{2} - e^{3 x} d x$

خطوة 3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{6} x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - e^{3 x} d x$

خطوة 3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{6} x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} e^{3 x} d x$

خطوة 3.7

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 3.7.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 3.7.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 3.7.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

خطوة 3.7.3

اضرب $3$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 3.7.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

خطوة 3.7.5

اضرب $3$ في $2$ .

$u_{upper} = 6$

خطوة 3.7.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

خطوة 3.7.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$e^{6} x]_{0}^{2} - \int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u$

خطوة 3.8

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$e^{6} x]_{0}^{2} - \int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u$

خطوة 3.9

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$e^{6} x]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u)$

خطوة 3.10

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{6} x]_{0}^{2} - \frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6}$

خطوة 3.11

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

احسِب قيمة $e^{6} x$ في $2$ وفي $0$ .

$(e^{6} \cdot 2) - e^{6} \cdot 0 - \frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6}$

خطوة 3.11.2

احسِب قيمة $e^{u}$ في $6$ وفي $0$ .

$(e^{6} \cdot 2) - e^{6} \cdot 0 - \frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0})$

خطوة 3.11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $e^{6}$ .

$2 \cdot e^{6} - e^{6} \cdot 0 - \frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0})$

خطوة 3.11.3.2

اضرب $0$ في $- 1$ .

$2 e^{6} + 0 e^{6} - \frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0})$

خطوة 3.11.3.3

اضرب $0$ في $e^{6}$ .

$2 e^{6} + 0 - \frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0})$

خطوة 3.11.3.4

أضف $2 e^{6}$ و $0$ .

$2 e^{6} - \frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0})$

خطوة 3.11.3.5

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$2 e^{6} - \frac{1}{3} (e^{6} - 1 \cdot 1)$

خطوة 3.11.3.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 e^{6} - \frac{1}{3} (e^{6} - 1)$

خطوة 3.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 e^{6} - \frac{1}{3} e^{6} - \frac{1}{3} \cdot - 1$

خطوة 3.12.1.2

اجمع $e^{6}$ و $\frac{1}{3}$ .

$2 e^{6} - \frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1$

خطوة 3.12.1.3

اضرب $- \frac{1}{3} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$2 e^{6} - \frac{e^{6}}{3} + 1 (\frac{1}{3})$

خطوة 3.12.1.3.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$2 e^{6} - \frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3}$

خطوة 3.12.2

لكتابة $2 e^{6}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$2 e^{6} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3}$

خطوة 3.12.3

اجمع $2 e^{6}$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{6} \cdot 3}{3} - \frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3}$

خطوة 3.12.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 e^{6} \cdot 3 - e^{6}}{3} + \frac{1}{3}$

خطوة 3.12.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 e^{6} \cdot 3 - e^{6} + 1}{3}$

خطوة 3.12.6

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6 e^{6} - e^{6} + 1}{3}$

خطوة 3.12.7

اطرح $e^{6}$ من $6 e^{6}$ .

$\frac{5 e^{6} + 1}{3}$

خطوة 4

$A r e a = \int_{2}^{3} 2 e^{3 x} d x - \int_{2}^{3} e^{3 x} + e^{6} d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $2$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{2}^{3} 2 e^{3 x} - (e^{3 x} + e^{6}) d x$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{2}^{3} 2 e^{3 x} - e^{3 x} - e^{6} d x$

خطوة 5.3

اطرح $e^{3 x}$ من $2 e^{3 x}$ .

$\int_{2}^{3} e^{3 x} - e^{6} d x$

خطوة 5.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{2}^{3} e^{3 x} d x + \int_{2}^{3} - e^{6} d x$

خطوة 5.5

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 5.5.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 5.5.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 5.5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 2$

خطوة 5.5.3

اضرب $3$ في $2$ .

$u_{lower} = 6$

خطوة 5.5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 3$

خطوة 5.5.5

اضرب $3$ في $3$ .

$u_{upper} = 9$

خطوة 5.5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 9$

خطوة 5.5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{6}^{9} e^{u} \frac{1}{3} d u + \int_{2}^{3} - e^{6} d x$

خطوة 5.6

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\int_{6}^{9} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{2}^{3} - e^{6} d x$

خطوة 5.7

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int_{6}^{9} e^{u} d u + \int_{2}^{3} - e^{6} d x$

خطوة 5.8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{6}^{9} + \int_{2}^{3} - e^{6} d x$

خطوة 5.9

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} e^{u}]_{6}^{9} + - e^{6} x]_{2}^{3}$

خطوة 5.10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $9$ وفي $6$ .

$\frac{1}{3} ((e^{9}) - e^{6}) + - e^{6} x]_{2}^{3}$

خطوة 5.10.2

احسِب قيمة $- e^{6} x$ في $3$ وفي $2$ .

$\frac{1}{3} ((e^{9}) - e^{6}) + (- e^{6} \cdot 3) + e^{6} \cdot 2$

خطوة 5.10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.3.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} (e^{9} - e^{6}) - 3 e^{6} + e^{6} \cdot 2$

خطوة 5.10.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $e^{6}$ .

$\frac{1}{3} (e^{9} - e^{6}) - 3 e^{6} + 2 \cdot e^{6}$

خطوة 5.10.3.3

أضف $- 3 e^{6}$ و $2 e^{6}$ .

$\frac{1}{3} (e^{9} - e^{6}) - e^{6}$

خطوة 5.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{3} e^{9} + \frac{1}{3} (- e^{6}) - e^{6}$

خطوة 5.11.1.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{9}$ .

$\frac{e^{9}}{3} + \frac{1}{3} (- e^{6}) - e^{6}$

خطوة 5.11.1.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{6}$ .

$\frac{e^{9}}{3} - \frac{e^{6}}{3} - e^{6}$

خطوة 5.11.2

لكتابة $- e^{6}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{9}}{3} - \frac{e^{6}}{3} - e^{6} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 5.11.3

اجمع $- e^{6}$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{9}}{3} - \frac{e^{6}}{3} + \frac{- e^{6} \cdot 3}{3}$

خطوة 5.11.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{9}}{3} + \frac{- e^{6} - e^{6} \cdot 3}{3}$

خطوة 5.11.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{9} - e^{6} - e^{6} \cdot 3}{3}$

خطوة 5.11.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{e^{9} - e^{6} - 3 e^{6}}{3}$

خطوة 5.11.7

اطرح $3 e^{6}$ من $- e^{6}$ .

$\frac{e^{9} - 4 e^{6}}{3}$

خطوة 6

اجمع المساحات $\frac{5 e^{6} + 1}{3} + \frac{e^{9} - 4 e^{6}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{5 e^{6} + 1 + e^{9} - 4 e^{6}}{3}$

خطوة 6.2

اطرح $4 e^{6}$ من $5 e^{6}$ .

$\frac{e^{6} + 1 + e^{9}}{3}$

خطوة 7