حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} - x^{3} = 9$ , $(3, - 6)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 3$ و $y = - 6$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (9)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} - x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 1.2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 1.2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 y y' - (3 x^{2})$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$2 y y' - 3 x^{2}$

خطوة 1.2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- 3 x^{2} + 2 y y'$

خطوة 1.3

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 3 x^{2} + 2 y y' = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أضف $3 x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$2 y y' = 3 x^{2}$

خطوة 1.5.2

اقسِم كل حد في $2 y y' = 3 x^{2}$ على $2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اقسِم كل حد في $2 y y' = 3 x^{2}$ على $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 3$ و $y = - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$\frac{3 {(3)}^{2}}{2 y}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $- 6$ في العبارة.

$\frac{3 {(3)}^{2}}{2 (- 6)}$

خطوة 1.7.3

اضرب $3$ في ${(3)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

اضرب $3$ في ${(3)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3^{1} {(3)}^{2}}{2 (- 6)}$

خطوة 1.7.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3^{1 + 2}}{2 (- 6)}$

خطوة 1.7.3.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{3^{3}}{2 (- 6)}$

خطوة 1.7.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\frac{27}{2 (- 6)}$

خطوة 1.7.4.2

اضرب $2$ في $- 6$ .

$\frac{27}{- 12}$

خطوة 1.7.5

احذِف العامل المشترك لـ $27$ و $- 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$\frac{3 (9)}{- 12}$

خطوة 1.7.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $- 12$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot - 4}$

خطوة 1.7.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot - 4}$

خطوة 1.7.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9}{- 4}$

خطوة 1.7.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{9}{4}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{9}{4}$ ونقطة مُعطاة $(3, - 6)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 6) = - \frac{9}{4} \cdot (x - (3))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 6 = - \frac{9}{4} \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{9}{4} \cdot (x - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y + 6 = 0 + 0 - \frac{9}{4} \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y + 6 = - \frac{9}{4} \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y + 6 = - \frac{9}{4} x - \frac{9}{4} \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $x$ و $\frac{9}{4}$ .

$y + 6 = - \frac{x \cdot 9}{4} - \frac{9}{4} \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $- \frac{9}{4} \cdot - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$y + 6 = - \frac{x \cdot 9}{4} + 3 (\frac{9}{4})$

خطوة 2.3.1.5.2

اجمع $3$ و $\frac{9}{4}$ .

$y + 6 = - \frac{x \cdot 9}{4} + \frac{3 \cdot 9}{4}$

خطوة 2.3.1.5.3

اضرب $3$ في $9$ .

$y + 6 = - \frac{x \cdot 9}{4} + \frac{27}{4}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل $9$ إلى يسار $x$ .

$y + 6 = - \frac{9 x}{4} + \frac{27}{4}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{27}{4} - 6$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $- 6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{27}{4} - 6 \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $- 6$ و $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{27}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{27 - 6 \cdot 4}{4}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $- 6$ في $4$ .

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{27 - 24}{4}$

خطوة 2.3.2.5.2

اطرح $24$ من $27$ .

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{3}{4}$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{9}{4} x) + \frac{3}{4}$

خطوة 2.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{9}{4} x + \frac{3}{4}$

خطوة 3