حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$ , $(2, 4)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 4$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3} - 9 x y) = \frac{d}{d x} (0)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

خطوة 1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

خطوة 1.2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

خطوة 1.2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 9 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 1.2.3.5

اضرب $y$ في $1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y)$

خطوة 1.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y') - 9 y$

خطوة 1.2.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y$

خطوة 1.3

بما أن $0$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اطرح $3 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = - 3 x^{2}$

خطوة 1.5.1.2

أضف $9 y$ إلى كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

خطوة 1.5.2

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y^{2} y' - 9 x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

خطوة 1.5.2.2

أخرِج العامل $3 y'$ من $- 9 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

خطوة 1.5.2.3

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

خطوة 1.5.3

اقسِم كل حد في $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ على $3 (y^{2} - 3 x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اقسِم كل حد في $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ على $3 (y^{2} - 3 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 1.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} - 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 1.5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 1.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 1.5.3.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 1.5.3.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 1.5.3.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 1.5.3.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.3.1

أخرِج العامل $3$ من $9 y$ .

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 1.5.3.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

خطوة 1.5.3.3.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 y}{y^{2} - 3 x}$

خطوة 1.5.3.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- x^{2} + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

خطوة 1.5.3.3.2.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$y' = \frac{- (x^{2}) + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

خطوة 1.5.3.3.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $3 y$ .

$y' = \frac{- (x^{2}) - (- 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

خطوة 1.5.3.3.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (- 3 y)$ .

$y' = \frac{- (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

خطوة 1.5.3.3.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.2.5.1

أعِد كتابة $- (x^{2} - 3 y)$ بالصيغة $- 1 (x^{2} - 3 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

خطوة 1.5.3.3.2.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$- \frac{{(2)}^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 \cdot 2}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $4$ في العبارة.

$- \frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 4}{{(4)}^{2} - 3 \cdot 2}$

خطوة 1.7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{4 - 3 \cdot 4}{4^{2} - 3 \cdot 2}$

خطوة 1.7.3.2

اضرب $- 3$ في $4$ .

$- \frac{4 - 12}{4^{2} - 3 \cdot 2}$

خطوة 1.7.3.3

اطرح $12$ من $4$ .

$- \frac{- 8}{4^{2} - 3 \cdot 2}$

خطوة 1.7.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{- 8}{16 - 3 \cdot 2}$

خطوة 1.7.4.2

اضرب $- 3$ في $2$ .

$- \frac{- 8}{16 - 6}$

خطوة 1.7.4.3

اطرح $6$ من $16$ .

$- \frac{- 8}{10}$

خطوة 1.7.5

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 8$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 8$ .

$- \frac{2 (- 4)}{10}$

خطوة 1.7.5.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$- \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.7.5.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.7.5.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{- 4}{5}$

خطوة 1.7.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{4}{5}$

خطوة 1.7.6

اضرب $- - \frac{4}{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{4}{5})$

خطوة 1.7.6.2

اضرب $\frac{4}{5}$ في $1$ .

$\frac{4}{5}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{4}{5}$ ونقطة مُعطاة $(2, 4)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{4}{5} \cdot (x - (2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 4 = \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{4}{5} \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 4 = \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 4 = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{4}{5}$ و $x$ .

$y - 4 = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $\frac{4}{5} \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اجمع $\frac{4}{5}$ و $- 2$ .

$y - 4 = \frac{4 x}{5} + \frac{4 \cdot - 2}{5}$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $4$ في $- 2$ .

$y - 4 = \frac{4 x}{5} + \frac{- 8}{5}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 4 = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5} + 4$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $4$ و $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 8 + 4 \cdot 5}{5}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $4$ في $5$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 8 + 20}{5}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $- 8$ و $20$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{12}{5}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{12}{5}$

خطوة 3