حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{2} + 4) y = 8$ , $(2, 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} ((x^{2} + 4) y) = \frac{d}{d x} (8)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2} + 4$ و $g (x) = y$ .

$(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$(x^{2} + 4) y' + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

خطوة 1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 1.2.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + 0)$

خطوة 1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x)$

خطوة 1.2.6.2

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$(x^{2} + 4) y' + 2 \cdot y x$

خطوة 1.2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} y' + 4 y' + 2 y x$

خطوة 1.2.7.2

أعِد ترتيب الحدود.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y'$

خطوة 1.3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y' = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اطرح $2 x y$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} y' + 4 y' = - 2 x y$

خطوة 1.5.2

أخرِج العامل $y'$ من $x^{2} y' + 4 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 4 y' = - 2 x y$

خطوة 1.5.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $4 y'$ .

$y' x^{2} + y' \cdot 4 = - 2 x y$

خطوة 1.5.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' x^{2} + y' \cdot 4$ .

$y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$

خطوة 1.5.3

اقسِم كل حد في $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ على $x^{2} + 4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اقسِم كل حد في $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ على $x^{2} + 4$ .

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{y}{{(2)}^{2} + 4}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $1$ في العبارة.

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{{(2)}^{2} + 4}$

خطوة 1.7.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4 + 4}$

خطوة 1.7.3.2

أضف $4$ و $4$ .

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{8}$

خطوة 1.7.4

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$- 4 \cdot \frac{1}{8}$

خطوة 1.7.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$4 (- 1) \cdot \frac{1}{8}$

خطوة 1.7.4.2.2

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

خطوة 1.7.4.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

خطوة 1.7.4.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 1.7.4.3

أعِد كتابة $- 1 (\frac{1}{2})$ بالصيغة $- (\frac{1}{2})$ .

$- \frac{1}{2}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{1}{2}$ ونقطة مُعطاة $(2, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $x$ و $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))$

خطوة 2.3.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{x}{2} + 1 + 1$

خطوة 2.3.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$y = - \frac{x}{2} + 2$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 2$

خطوة 2.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{1}{2} x + 2$

خطوة 3