حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} + 6 x - 4$ , $y = x + 2$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{2} + 6 x - 4 = x + 2$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 6 x - 4 = x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} + 6 x - 4 - x = 2$

خطوة 1.2.1.2

اطرح $x$ من $6 x$ .

$x^{2} + 5 x - 4 = 2$

خطوة 1.2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} + 5 x - 4 - 2 = 0$

خطوة 1.2.3

اطرح $2$ من $- 4$ .

$x^{2} + 5 x - 6 = 0$

خطوة 1.2.4

حلّل $x^{2} + 5 x - 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 6$ ومجموعهما $5$ .

$- 1, 6 + y = x + 2$

خطوة 1.2.4.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 1) (x + 6) = 0$

خطوة 1.2.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 6 = 0 + y = x + 2$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 1.2.7

عيّن قيمة العبارة $x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

عيّن قيمة $x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 6 = 0$

خطوة 1.2.7.2

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$x = - 6$

خطوة 1.2.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 1) (x + 6) = 0$ صحيحة.

$x = 1, - 6$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$y = (1) + 2$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $1$ عن $x$ في $y = (1) + 2$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 1 + 2$

خطوة 1.3.2.2

احذِف الأقواس.

$y = (1) + 2$

خطوة 1.3.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$y = 3$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 6$ .

$y = (- 6) + 2$

خطوة 1.4.2

عوّض بـ $- 6$ عن $x$ في $y = (- 6) + 2$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

احذِف الأقواس.

$y = - 6 + 2$

خطوة 1.4.2.2

احذِف الأقواس.

$y = (- 6) + 2$

خطوة 1.4.2.3

أضف $- 6$ و $2$ .

$y = - 4$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(1, 3)$

$(- 6, - 4)$

$(1, 3)$

$(- 6, - 4)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 6}^{1} x + 2 d x - \int_{- 6}^{1} x^{2} + 6 x - 4 d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 6$ و $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 6}^{1} x + 2 - (x^{2} + 6 x - 4) d x$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x + 2 - x^{2} - (6 x) - - 4$

خطوة 3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اضرب $6$ في $- 1$ .

$x + 2 - x^{2} - 6 x - - 4$

خطوة 3.2.2.2

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$x + 2 - x^{2} - 6 x + 4$

$\int_{- 6}^{1} x + 2 - x^{2} - 6 x + 4 d x$

خطوة 3.3

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اطرح $6 x$ من $x$ .

$- 5 x + 2 - x^{2} + 4$

خطوة 3.3.2

أضف $2$ و $4$ .

$- 5 x - x^{2} + 6$

$\int_{- 6}^{1} - 5 x - x^{2} + 6 d x$

خطوة 3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 6}^{1} - 5 x d x + \int_{- 6}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

خطوة 3.5

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 5$ خارج التكامل.

$- 5 \int_{- 6}^{1} x d x + \int_{- 6}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 6}^{1}) + \int_{- 6}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

خطوة 3.7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) + \int_{- 6}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

خطوة 3.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) - \int_{- 6}^{1} x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

خطوة 3.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 6}^{1}) + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

خطوة 3.10

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{1}) + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

خطوة 3.11

طبّق قاعدة الثابت.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{1}) + 6 x]_{- 6}^{1}$

خطوة 3.12

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $1$ وفي $- 6$ .

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 6)}^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{1}) + 6 x]_{- 6}^{1}$

خطوة 3.12.2

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $1$ وفي $- 6$ .

$- 5 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 6)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + 6 x]_{- 6}^{1}$

خطوة 3.12.3

احسِب قيمة $6 x$ في $1$ وفي $- 6$ .

$- 5 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 6)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 6)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.2

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{36}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.3

احذِف العامل المشترك لـ $36$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.3.1

أخرِج العامل $2$ من $36$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 18}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 18}{2 (1)}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{18}{1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.3.2.4

اقسِم $18$ على $1$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 18) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.4

اضرب $- 1$ في $18$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - 18) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.5

لكتابة $- 18$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - 18 \cdot \frac{2}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.6

اجمع $- 18$ و $\frac{2}{2}$ .

$- 5 (\frac{1}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 5 \frac{1 - 18 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.8.1

اضرب $- 18$ في $2$ .

$- 5 \frac{1 - 36}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.8.2

اطرح $36$ من $1$ .

$- 5 (\frac{- 35}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 5 (- \frac{35}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.10

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$5 (\frac{35}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.11

اجمع $5$ و $\frac{35}{2}$ .

$\frac{5 \cdot 35}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.12

اضرب $5$ في $35$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.13

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.14

ارفع $- 6$ إلى القوة $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{- 216}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.15

احذِف العامل المشترك لـ $- 216$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.15.1

أخرِج العامل $3$ من $- 216$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot - 72}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.15.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.15.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot - 72}{3 (1)}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.15.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot - 72}{3 \cdot 1}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.15.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{- 72}{1}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.15.2.4

اقسِم $- 72$ على $1$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - - 72) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.16

اضرب $- 1$ في $- 72$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} + 72) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.17

لكتابة $72$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} + 72 \cdot \frac{3}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.18

اجمع $72$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} + \frac{72 \cdot 3}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.19

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{175}{2} - \frac{1 + 72 \cdot 3}{3} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.20

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.20.1

اضرب $72$ في $3$ .

$\frac{175}{2} - \frac{1 + 216}{3} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.20.2

أضف $1$ و $216$ .

$\frac{175}{2} - \frac{217}{3} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.21

لكتابة $\frac{175}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{217}{3} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.22

لكتابة $- \frac{217}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.23

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.23.1

اضرب $\frac{175}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.23.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.23.3

اضرب $\frac{217}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217 \cdot 2}{3 \cdot 2} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.23.4

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.24

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{175 \cdot 3 - 217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.25

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.25.1

اضرب $175$ في $3$ .

$\frac{525 - 217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.25.2

اضرب $- 217$ في $2$ .

$\frac{525 - 434}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.25.3

اطرح $434$ من $525$ .

$\frac{91}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.26

اضرب $6$ في $1$ .

$\frac{91}{6} + 6 - 6 \cdot - 6$

خطوة 3.12.4.27

اضرب $- 6$ في $- 6$ .

$\frac{91}{6} + 6 + 36$

خطوة 3.12.4.28

أضف $6$ و $36$ .

$\frac{91}{6} + 42$

خطوة 3.12.4.29

لكتابة $42$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$\frac{91}{6} + 42 \cdot \frac{6}{6}$

خطوة 3.12.4.30

اجمع $42$ و $\frac{6}{6}$ .

$\frac{91}{6} + \frac{42 \cdot 6}{6}$

خطوة 3.12.4.31

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{91 + 42 \cdot 6}{6}$

خطوة 3.12.4.32

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.32.1

اضرب $42$ في $6$ .

$\frac{91 + 252}{6}$

خطوة 3.12.4.32.2

أضف $91$ و $252$ .

$\frac{343}{6}$

خطوة 4