حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 16 - x^{2}$ , $y = 0$ , $x = - 3$ , $x = 2$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$16 - x^{2} = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $16 - x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $16$ من كلا المتعادلين.

$- x^{2} = - 16$

خطوة 1.2.2

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 16$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 16$ على $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 1.2.2.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

اقسِم $- 16$ على $- 1$ .

$x^{2} = 16$

خطوة 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

خطوة 1.2.4

بسّط $\pm \sqrt{16}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

خطوة 1.2.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 4$

خطوة 1.2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 4$

خطوة 1.2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 4$

خطوة 1.2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 4, - 4$

خطوة 1.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(4, 0)$

$(- 4, 0)$

$(4, 0)$

$(- 4, 0)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $16$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 16$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 3}^{2} - x^{2} + 16 d x - \int_{- 3}^{2} 0 d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 3$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} + 16 - (0) d x$

خطوة 4.2

اطرح $0$ من $- x^{2} + 16$ .

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} + 16 d x$

خطوة 4.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} 16 d x$

خطوة 4.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{- 3}^{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} 16 d x$

خطوة 4.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 16 d x$

خطوة 4.6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 16 d x$

خطوة 4.7

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + 16 x]_{- 3}^{2}$

خطوة 4.8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $2$ وفي $- 3$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 16 x]_{- 3}^{2}$

خطوة 4.8.2

احسِب قيمة $16 x$ في $2$ وفي $- 3$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

خطوة 4.8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

خطوة 4.8.3.2

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 27}{3}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

خطوة 4.8.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 27$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 27$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

خطوة 4.8.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

خطوة 4.8.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

خطوة 4.8.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 9}{1}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

خطوة 4.8.3.3.2.4

اقسِم $- 9$ على $1$ .

$- (\frac{8}{3} - - 9) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

خطوة 4.8.3.4

اضرب $- 1$ في $- 9$ .

$- (\frac{8}{3} + 9) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

خطوة 4.8.3.5

لكتابة $9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{8}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

خطوة 4.8.3.6

اجمع $9$ و $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

خطوة 4.8.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{8 + 9 \cdot 3}{3} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

خطوة 4.8.3.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.8.1

اضرب $9$ في $3$ .

$- \frac{8 + 27}{3} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

خطوة 4.8.3.8.2

أضف $8$ و $27$ .

$- \frac{35}{3} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot - 3$

خطوة 4.8.3.9

اضرب $16$ في $2$ .

$- \frac{35}{3} + 32 - 16 \cdot - 3$

خطوة 4.8.3.10

اضرب $- 16$ في $- 3$ .

$- \frac{35}{3} + 32 + 48$

خطوة 4.8.3.11

أضف $32$ و $48$ .

$- \frac{35}{3} + 80$

خطوة 4.8.3.12

لكتابة $80$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35}{3} + 80 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.8.3.13

اجمع $80$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{80 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.8.3.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 35 + 80 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.8.3.15

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.15.1

اضرب $80$ في $3$ .

$\frac{- 35 + 240}{3}$

خطوة 4.8.3.15.2

أضف $- 35$ و $240$ .

$\frac{205}{3}$

خطوة 5