حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 16 - x^{2}$ , $y = 0$ , $x = - 2$ , $x = 3$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$16 - x^{2} = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $16 - x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $16$ من كلا المتعادلين.

$- x^{2} = - 16$

خطوة 1.2.2

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 16$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 16$ على $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 1.2.2.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

اقسِم $- 16$ على $- 1$ .

$x^{2} = 16$

خطوة 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

خطوة 1.2.4

بسّط $\pm \sqrt{16}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

خطوة 1.2.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 4$

خطوة 1.2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 4$

خطوة 1.2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 4$

خطوة 1.2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 4, - 4$

خطوة 1.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(4, 0)$

$(- 4, 0)$

$(4, 0)$

$(- 4, 0)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $16$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 16$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 2}^{3} - x^{2} + 16 d x - \int_{- 2}^{3} 0 d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 2$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 2}^{3} - x^{2} + 16 - (0) d x$

خطوة 4.2

اطرح $0$ من $- x^{2} + 16$ .

$\int_{- 2}^{3} - x^{2} + 16 d x$

خطوة 4.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 2}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{3} 16 d x$

خطوة 4.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{- 2}^{3} x^{2} d x + \int_{- 2}^{3} 16 d x$

خطوة 4.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} 16 d x$

خطوة 4.6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} 16 d x$

خطوة 4.7

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + 16 x]_{- 2}^{3}$

خطوة 4.8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $3$ وفي $- 2$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 16 x]_{- 2}^{3}$

خطوة 4.8.2

احسِب قيمة $16 x$ في $3$ وفي $- 2$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

خطوة 4.8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

خطوة 4.8.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $27$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

خطوة 4.8.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

خطوة 4.8.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

خطوة 4.8.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{9}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

خطوة 4.8.3.2.2.4

اقسِم $9$ على $1$ .

$- (9 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

خطوة 4.8.3.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$- (9 - \frac{- 8}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

خطوة 4.8.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- (9 - - \frac{8}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

خطوة 4.8.3.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- (9 + 1 (\frac{8}{3})) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

خطوة 4.8.3.6

اضرب $\frac{8}{3}$ في $1$ .

$- (9 + \frac{8}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

خطوة 4.8.3.7

لكتابة $9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

خطوة 4.8.3.8

اجمع $9$ و $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3}) + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

خطوة 4.8.3.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{9 \cdot 3 + 8}{3} + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

خطوة 4.8.3.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.10.1

اضرب $9$ في $3$ .

$- \frac{27 + 8}{3} + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

خطوة 4.8.3.10.2

أضف $27$ و $8$ .

$- \frac{35}{3} + 16 \cdot 3 - 16 \cdot - 2$

خطوة 4.8.3.11

اضرب $16$ في $3$ .

$- \frac{35}{3} + 48 - 16 \cdot - 2$

خطوة 4.8.3.12

اضرب $- 16$ في $- 2$ .

$- \frac{35}{3} + 48 + 32$

خطوة 4.8.3.13

أضف $48$ و $32$ .

$- \frac{35}{3} + 80$

خطوة 4.8.3.14

لكتابة $80$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35}{3} + 80 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.8.3.15

اجمع $80$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{80 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.8.3.16

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 35 + 80 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.8.3.17

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.17.1

اضرب $80$ في $3$ .

$\frac{- 35 + 240}{3}$

خطوة 4.8.3.17.2

أضف $- 35$ و $240$ .

$\frac{205}{3}$

خطوة 5