حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 x + 8$ , $y = x^{2}$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$2 x + 8 = x^{2}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x + 8 = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 x + 8 - x^{2} = 0$

خطوة 1.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $2 x + 8 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

أعِد ترتيب العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1.1

انقُل $8$ .

$2 x - x^{2} + 8 = 0$

خطوة 1.2.2.1.1.2

أعِد ترتيب $2 x$ و $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 8 = 0$

خطوة 1.2.2.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 8 = 0$

خطوة 1.2.2.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 8 = 0$

خطوة 1.2.2.1.4

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $- 1 (- 8)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

خطوة 1.2.2.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

خطوة 1.2.2.1.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 8)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 8) = 0$

خطوة 1.2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

حلّل $x^{2} - 2 x - 8$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 8$ ومجموعهما $- 2$ .

$- 4, 2 + y = x^{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- ((x - 4) (x + 2)) = 0$

خطوة 1.2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (x - 4) (x + 2) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0 + y = x^{2}$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 1.2.4.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 1.2.5.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (x - 4) (x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = 4, - 2$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4$ .

$y = {(4)}^{2}$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $4$ عن $x$ في $y = {(4)}^{2}$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 4^{2}$

خطوة 1.3.2.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$y = 16$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 2$ .

$y = {(- 2)}^{2}$

خطوة 1.4.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$y = 4$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(4, 16)$

$(- 2, 4)$

$(4, 16)$

$(- 2, 4)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 2}^{4} 2 x + 8 d x - \int_{- 2}^{4} x^{2} d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 2}^{4} 2 x + 8 - (x^{2}) d x$

خطوة 3.2

اضرب $- 1$ في $x^{2}$ .

$\int_{- 2}^{4} 2 x + 8 - x^{2} d x$

خطوة 3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 2}^{4} 2 x d x + \int_{- 2}^{4} 8 d x + \int_{- 2}^{4} - x^{2} d x$

خطوة 3.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{- 2}^{4} x d x + \int_{- 2}^{4} 8 d x + \int_{- 2}^{4} - x^{2} d x$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{4}) + \int_{- 2}^{4} 8 d x + \int_{- 2}^{4} - x^{2} d x$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{4}) + \int_{- 2}^{4} 8 d x + \int_{- 2}^{4} - x^{2} d x$

خطوة 3.7

طبّق قاعدة الثابت.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{4}) + 8 x]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - x^{2} d x$

خطوة 3.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{4}) + 8 x]_{- 2}^{4} - \int_{- 2}^{4} x^{2} d x$

خطوة 3.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{4}) + 8 x]_{- 2}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{4})$

خطوة 3.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{4}) + 8 x]_{- 2}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{4})$

خطوة 3.10.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $4$ وفي $- 2$ .

$2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 8 x]_{- 2}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{4})$

خطوة 3.10.2.2

احسِب قيمة $8 x$ في $4$ وفي $- 2$ .

$2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{4})$

خطوة 3.10.2.3

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $4$ وفي $- 2$ .

$2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$2 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.2.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$2 (8 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$2 (8 - \frac{4}{2}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$2 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 (8 - \frac{2}{1}) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 (8 - 1 \cdot 2) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 (8 - 2) + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.6

اطرح $2$ من $8$ .

$2 \cdot 6 + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.7

اضرب $2$ في $6$ .

$12 + 8 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.8

اضرب $8$ في $4$ .

$12 + 32 - 8 \cdot - 2 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.9

اضرب $- 8$ في $- 2$ .

$12 + 32 + 16 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.10

أضف $32$ و $16$ .

$12 + 48 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.11

أضف $12$ و $48$ .

$60 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.12

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$60 - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.13

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$60 - (\frac{64}{3} - \frac{- 8}{3})$

خطوة 3.10.2.4.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$60 - (\frac{64}{3} - - \frac{8}{3})$

خطوة 3.10.2.4.15

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$60 - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{8}{3}))$

خطوة 3.10.2.4.16

اضرب $\frac{8}{3}$ في $1$ .

$60 - (\frac{64}{3} + \frac{8}{3})$

خطوة 3.10.2.4.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$60 - \frac{64 + 8}{3}$

خطوة 3.10.2.4.18

أضف $64$ و $8$ .

$60 - \frac{72}{3}$

خطوة 3.10.2.4.19

احذِف العامل المشترك لـ $72$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.19.1

أخرِج العامل $3$ من $72$ .

$60 - \frac{3 \cdot 24}{3}$

خطوة 3.10.2.4.19.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.19.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$60 - \frac{3 \cdot 24}{3 (1)}$

خطوة 3.10.2.4.19.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$60 - \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1}$

خطوة 3.10.2.4.19.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$60 - \frac{24}{1}$

خطوة 3.10.2.4.19.2.4

اقسِم $24$ على $1$ .

$60 - 1 \cdot 24$

خطوة 3.10.2.4.20

اضرب $- 1$ في $24$ .

$60 - 24$

خطوة 3.10.2.4.21

اطرح $24$ من $60$ .

$36$

خطوة 4