حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 4 x - x^{2}$ , $y = - x$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$4 x - x^{2} = - x$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 x - x^{2} = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$4 x - x^{2} + x = 0$

خطوة 1.2.1.2

أضف $4 x$ و $x$ .

$- x^{2} + 5 x = 0$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $- x$ من $- x^{2} + 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $- x$ من $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 5 x = 0$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل $- x$ من $5 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 5 = 0$

خطوة 1.2.2.3

أخرِج العامل $- x$ من $- x (x) - x (- 5)$ .

$- x (x - 5) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0 + y = - x$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 5 = 0$

خطوة 1.2.5.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 5$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- x (x - 5) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 5$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$y = - (0)$

خطوة 1.3.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $5$ .

$y = - (5)$

خطوة 1.4.2

اضرب $- 1$ في $5$ .

$y = - 5$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(0, 0)$

$(5, - 5)$

$(0, 0)$

$(5, - 5)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $4 x$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4 x$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{5} - x^{2} + 4 x d x - \int_{0}^{5} - x d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{5} - x^{2} + 4 x - (- x) d x$

خطوة 4.2

اضرب $- (- x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- x^{2} + 4 x + 1 x$

خطوة 4.2.2

اضرب $x$ في $1$ .

$- x^{2} + 4 x + x$

$\int_{0}^{5} - x^{2} + 4 x + x d x$

خطوة 4.3

أضف $4 x$ و $x$ .

$\int_{0}^{5} - x^{2} + 5 x d x$

خطوة 4.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{5} - x^{2} d x + \int_{0}^{5} 5 x d x$

خطوة 4.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{0}^{5} x^{2} d x + \int_{0}^{5} 5 x d x$

خطوة 4.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5 x d x$

خطوة 4.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5 x d x$

خطوة 4.8

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 5 \int_{0}^{5} x d x$

خطوة 4.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5})$

خطوة 4.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5})$

خطوة 4.10.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $5$ وفي $0$ .

$- ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5})$

خطوة 4.10.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $5$ وفي $0$ .

$- (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.1

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{125}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- (\frac{125}{3} - \frac{0}{3}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$- (\frac{125}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{125}{3} - \frac{0}{1}) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- (\frac{125}{3} - 0) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- (\frac{125}{3} + 0) + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.5

أضف $\frac{125}{3}$ و $0$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.6

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.7

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{0}{2})$

خطوة 4.10.2.3.8

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.8.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

خطوة 4.10.2.3.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 4.10.2.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 4.10.2.3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - \frac{0}{1})$

خطوة 4.10.2.3.8.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} - 0)$

خطوة 4.10.2.3.9

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2} + 0)$

خطوة 4.10.2.3.10

أضف $\frac{25}{2}$ و $0$ .

$- \frac{125}{3} + 5 (\frac{25}{2})$

خطوة 4.10.2.3.11

اجمع $5$ و $\frac{25}{2}$ .

$- \frac{125}{3} + \frac{5 \cdot 25}{2}$

خطوة 4.10.2.3.12

اضرب $5$ في $25$ .

$- \frac{125}{3} + \frac{125}{2}$

خطوة 4.10.2.3.13

لكتابة $- \frac{125}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{125}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{125}{2}$

خطوة 4.10.2.3.14

لكتابة $\frac{125}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{125}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.10.2.3.15

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.15.1

اضرب $\frac{125}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{125 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{125}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.10.2.3.15.2

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{125 \cdot 2}{6} + \frac{125}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.10.2.3.15.3

اضرب $\frac{125}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125 \cdot 2}{6} + \frac{125 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

خطوة 4.10.2.3.15.4

اضرب $2$ في $3$ .

$- \frac{125 \cdot 2}{6} + \frac{125 \cdot 3}{6}$

خطوة 4.10.2.3.16

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 125 \cdot 2 + 125 \cdot 3}{6}$

خطوة 4.10.2.3.17

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.17.1

اضرب $- 125$ في $2$ .

$\frac{- 250 + 125 \cdot 3}{6}$

خطوة 4.10.2.3.17.2

اضرب $125$ في $3$ .

$\frac{- 250 + 375}{6}$

خطوة 4.10.2.3.17.3

أضف $- 250$ و $375$ .

$\frac{125}{6}$

خطوة 5