حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sin (π x)}$

خطوة 1

اضرب بسط الكسر والقاسم في $π x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot (π x)}{\sin (π x) \cdot (π x)}$

خطوة 2

اضرب بسط الكسر والقاسم في $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot (π x) \cdot x}{x \cdot \sin (π x) \cdot (π x)}$

خطوة 3

افصِل الكسور.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot \frac{x}{π x}$

خطوة 4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 5

النهاية $\frac{\sin (x)}{x}$ تساوي $1$ مع اقتراب $x$ من $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 5.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 5.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 5.1.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 5.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 5.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 5.3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 5.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 5.4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 5.4.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 5.5

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\cos (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 5.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6

النهاية $\frac{π x}{\sin (π x)}$ تساوي $1$ مع اقتراب $x$ من $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$1 \cdot \frac{lim_{x \to 0} π x}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

انقُل الحد $π$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$1 \cdot \frac{π lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$1 \cdot \frac{π \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.1.2.3

اضرب $π$ في $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$1 \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.1.3.1.2

انقُل الحد $π$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (π lim_{x \to 0} x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (π \cdot 0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.3.1

اضرب $π$ في $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.1.3.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

خطوة 6.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.3.2

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.3.4

اضرب $π$ في $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = π x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $π x$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.3.5.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (u) \frac{d}{d x} [π x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.3.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $π x$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.3.6

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) (π \cdot 1)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.3.8

اضرب $π$ في $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) π} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.3.9

أعِد ترتيب عوامل $\cos (π x) π$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{π \cos (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{π \cos (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.5

حوّل من $\frac{1}{\cos (π x)}$ إلى $\sec (π x)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \sec (π x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة القاطع متصلة.

$1 \cdot \sec (lim_{x \to 0} π x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.6.2

انقُل الحد $π$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$1 \cdot \sec (π lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.7

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$1 \cdot \sec (π \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

اضرب $π$ في $0$ .

$1 \cdot \sec (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 6.8.2

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 7

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

خطوة 7.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{π}$

خطوة 8

احسِب قيمة حد $\frac{1}{π}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{π}$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $1$ في $1$ .

$1 \cdot \frac{1}{π}$

خطوة 9.2

اضرب $\frac{1}{π}$ في $1$ .

$\frac{1}{π}$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{π}$

الصيغة العشرية:

$0.31830988 \dots$