حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} {(1 + 4 x)}^{\frac{3}{x}}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(1 + 4 x)}^{\frac{3}{x}}$ بالصيغة $e^{\ln ({(1 + 4 x)}^{\frac{3}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + 4 x)}^{\frac{3}{x}})}$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({(1 + 4 x)}^{\frac{3}{x}})$ بنقل $\frac{3}{x}$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{3}{x} \ln (1 + 4 x)}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{3}{x} \ln (1 + 4 x)}$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{3}{x}$ و $\ln (1 + 4 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{3 \ln (1 + 4 x)}{x}}$

خطوة 2.3

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 4 x)}{x}}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$e^{3 \frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + 4 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$e^{3 \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + 4 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$e^{3 \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2.1.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$e^{3 \frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2.1.4

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{3 \frac{\ln (1 + 4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{3 \frac{\ln (1 + 4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

اضرب $4$ في $0$ .

$e^{3 \frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$e^{3 \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2.3.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$e^{3 \frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{3 (\frac{0}{0})}$

خطوة 3.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{3 (\frac{0}{0})}$

خطوة 3.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 4 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 1 + 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + 4 x$ .

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + 4 x$ .

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} (0 + \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.6

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.7

اجمع $4$ و $\frac{1}{1 + 4 x}$ .

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.9

اضرب $\frac{4}{1 + 4 x}$ في $1$ .

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.10

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{4 x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{4 x + 1}}{1}}$

خطوة 3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{4}{4 x + 1} \cdot 1}$

خطوة 3.5

اضرب $\frac{4}{4 x + 1}$ في $1$ .

$e^{3 lim_{x \to 0} \frac{4}{4 x + 1}}$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{3 \cdot 4 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 x + 1}}$

خطوة 4.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$e^{3 \cdot 4 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4 x + 1}}$

خطوة 4.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$e^{3 \cdot 4 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x + 1}}$

خطوة 4.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$e^{3 \cdot 4 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1}}$

خطوة 4.5

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{3 \cdot 4 \frac{1}{4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}}$

خطوة 4.6

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$e^{3 \cdot 4 \frac{1}{4 lim_{x \to 0} x + 1}}$

خطوة 5

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{3 \cdot 4 \frac{1}{4 \cdot 0 + 1}}$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $3$ في $4$ .

$e^{12 \frac{1}{4 \cdot 0 + 1}}$

خطوة 6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $4$ في $0$ .

$e^{12 \frac{1}{0 + 1}}$

خطوة 6.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$e^{12 (\frac{1}{1})}$

خطوة 6.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{12 (\frac{1}{1})}$

خطوة 6.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{12 \cdot 1}$

خطوة 6.4

اضرب $12$ في $1$ .

$e^{12}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$e^{12}$

الصيغة العشرية:

$162754.79141900 \dots$