حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 - \cos (h))}^{2}}{h}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{h \to 0} {(1 - \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

انقُل الأُس $2$ من ${(1 - \cos (h))}^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 - \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.1.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{{(1 - lim_{h \to 0} \cos (h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.1.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{{(1 - \cos (lim_{h \to 0} h))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{{(1 - \cos (0))}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{{(1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.3.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{{(1 - 1)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.2.3.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 - \cos (h))}^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 - \cos (h))}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 - \cos (h))}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ هو $f' (g (h)) g' (h)$ حيث $f (h) = h^{2}$ و $g (h) = 1 - \cos (h)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - \cos (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d h} [1 - \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d h} [1 - \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - \cos (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) \frac{d}{d h} [1 - \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \cos (h)$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \cos (h)])}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) (0 + \frac{d}{d h} [- \cos (h)])}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d h} [- \cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) \frac{d}{d h} [- \cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، إذن مشتق $- \cos (h)$ بالنسبة إلى $h$ يساوي $- \frac{d}{d h} [\cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) (- \frac{d}{d h} [\cos (h)])}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.7

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 (1 - \cos (h)) \frac{d}{d h} [\cos (h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.8

مشتق $\cos (h)$ بالنسبة إلى $h$ يساوي $- \sin (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 (1 - \cos (h)) (- \sin (h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.9

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 (1 - \cos (h)) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{h \to 0} \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- \cos (h))) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.10.2

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{h \to 0} \frac{2 \cdot 1 \sin (h) + 2 (- \cos (h)) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.10.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.10.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sin (h) + 2 (- \cos (h)) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.10.3.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sin (h) - 2 \cos (h) \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.10.4

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 1.3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)}{1}$

خطوة 1.4

اقسِم $- 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)$ على $1$ .

$lim_{h \to 0} - 2 \cos (h) \sin (h) + 2 \sin (h)$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$- lim_{h \to 0} 2 \cos (h) \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

خطوة 2.2

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$- 2 lim_{h \to 0} \cos (h) \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

خطوة 2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$- 2 lim_{h \to 0} \cos (h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

خطوة 2.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

خطوة 2.5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} 2 \sin (h)$

خطوة 2.6

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + 2 lim_{h \to 0} \sin (h)$

خطوة 2.7

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$- 2 \cos (lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + 2 \sin (lim_{h \to 0} h)$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $h$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (lim_{h \to 0} h) + 2 \sin (lim_{h \to 0} h)$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0) + 2 \sin (lim_{h \to 0} h)$

خطوة 3.3

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- 2 \cdot 1 \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

خطوة 4.1.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2 \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

خطوة 4.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- 2 \cdot 0 + 2 \sin (0)$

خطوة 4.1.4

اضرب $- 2$ في $0$ .

$0 + 2 \sin (0)$

خطوة 4.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$0 + 2 \cdot 0$

خطوة 4.1.6

اضرب $2$ في $0$ .

$0 + 0$

خطوة 4.2

أضف $0$ و $0$ .

$0$