حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x {(4 - x)}^{2}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int x {(4 - x)}^{2} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = 4 - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = 4 - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $4 - x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 3.1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

خطوة 3.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - 1$

خطوة 3.1.4

اطرح $1$ من $0$ .

$- 1$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int - (- u + 4) u^{2} d u$

خطوة 4

وسّع $- (- u + 4) u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (- - u - 1 \cdot 4) u^{2} d u$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int - - u u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

خطوة 4.3

انقُل الأقواس.

$\int - - 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

خطوة 4.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

خطوة 4.5

اضرب $u$ في $1$ .

$\int u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

خطوة 4.6

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{1} u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

خطوة 4.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{1 + 2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

خطوة 4.8

أضف $1$ و $2$ .

$\int u^{3} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

خطوة 4.9

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\int u^{3} - 4 u^{2} d u$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{3} d u + \int - 4 u^{2} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 4 u^{2} d u$

خطوة 7

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 \int u^{2} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

$\frac{1}{4} u^{4} - 4 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{- 4}{3} u^{3} + C$

خطوة 9.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{4}{3} u^{3} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 - x$ .

$\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$

خطوة 11

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = x {(4 - x)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$